Exercise 3.1Z: Drawing Cards

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Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter 4 Asse, werden nacheinander 3 Karten herausgezogen. Für Frage (a) wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, dieser neu gemischt wird und anschließend die nächste Karte gezogen wird.

Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab (b) davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).

Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt i gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist i = 1, 2, 3 zu setzen. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt i irgend eine andere Karte gezogen wird.

Hinweis: Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff Kapitel 1.3 im Buch „Stochastische Signaltheorie”. Sie wird hier zur Vorbereitung auf die ähnliche Thematik von Kapitel 3.1 des Buches „Informationstheorie und Quellencodierung” wiederholt.

Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt folgendes Lernvideo :Statistische (Un-)Abhängigkeit (3-teilig: Dauer Teil 1: 4:20 – Teil 2: 3:40 – Teil 3: 3:40)]

Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_a$ , dass drei Asse gezogen werden?

$p_a$ =

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit $p_b$ werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt? Warum ist $p_b$ kleiner/gleich/größer als $p_a$?

$p_b$=

3

Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_c$ , dass kein einziges Ass gezogen wird?

$p_c$ =

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_d$, dass genau ein Ass gezogen wird?

$p_d$ =

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? Hinweis: Die Ereignisse „genau i Asse werden gezogen” mit i = 0, 1, 2, 3 beschreiben ein vollständiges System.

$p_e$ =

Musterlösung

Solution

1. Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß (1/8):

$$ p_{\rm a} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1})\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2})\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3}) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$

2. Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

$$ p_{\rm b} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1} ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} )).$$ Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden. Man erhält somit das Ergebnis „k/m” (bei m Karten sind noch k Asse enthalten). $$p_{\rm b} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$ p_b ist kleiner als p_a, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.

3.Analog zu Punkt (b) erhält man hier:

$$p_{\rm c} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$

4. Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:

$$p_{\rm d} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}$$ mit : $$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$ $$\rm Pr (\it D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \it A_{\rm 2} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$ $$\rm Pr (\it D_{\rm 3}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap \it A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$ Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein? Wenn man bei 3 Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht. Damit erhält man für die Summe $p_d$ = 0.3048.

5.Definiert man die Ereignisse E_i = „es werden genau i Asse gezogen” mit den Indizes i = 0, 1, 2, 3, so beschreiben E₀, E₁, E₂ und E₃ ein vollständiges System. Deshalb gilt: $$p_{\rm e} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm b} -\it p_{\rm c} - \it p_{\rm d} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$