Exercise 3.1: Probabilities when Rolling Dice

Wir betrachten das Zufallsexperiment „Würfeln mit ein oder zwei Würfeln”. Beide Würfel sind fair (die sechs möglichen Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich) und durch ihre Farben unterscheidbar:

Die Zufallsgröße R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichnet die Augenzahl des roten Würfels.

Die Zufallsgröße B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichnet die Augenzahl des blauen Würfels.

Die Zufallsgröße S = R + B steht für die Summe beider Würfel.

In dieser Aufgabe sollen verschiedene Wahrscheinlichkeiten mit Bezug zu den Zufallsgrößen R, B und S berechnet werden, wobei das oben angegebene Schema hilfreich sein kann. Dieses beinhaltet die Summe S in Abhängigkeit von R und B.

Hinweis: Die Aufgabe dient zur Vorbereitung für weitere Aufgaben zum Kapitel 3.1 dieses Buches „Einführung in die Informationstheorie”. Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff von Kapitel 1.1 und Kapitel 1.3 des Buches „Stochastische Signaltheorie”.

Fragebogen

$Pr(R = 6)$ =

$Pr(B ≤ 2)$ =

$Pr(R = B)$ =

$Pr(S = 6)$ =

$Pr(S = 7)$ =

Pr(S ist ungeradzahlig) =

$Pr[(R = 6)\ \cup \ (B =6)]$ =

$Pr[(R = 6)\ \cap \ (B =6)]$ =

Pr(erste „6” beim 1. WUrf) =

$(L=1)$

Pr(erste „6” beim 2. WUrf) =

$(L=2)$

Pr(erste „6” beim 3. WUrf) =

$(L=3)$

Pr(L ist geradzahlig) =

Musterlösung

Solution

1. Setzt man faire Würfel voraus, so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass

mit dem roten Würfel eine „6” geworfen wird:

$$\underline{{\rm Pr}(R=6) = 1/6} = 0.1667 \hspace{0.05cm},$$

mit dem blauen Würfel eine „1” oder eine „2” geworfen wird:

$$\underline{{\rm Pr}(B\le 2) = 1/3} = 0.3333 \hspace{0.05cm},$$

beide Würfel die gleiche Augenzahl anzeigen:

$$\underline{{\rm Pr}(R=B) = 6/36} = 0.1667 \hspace{0.05cm}.$$

Letzteres basiert auf der 2D–Darstellung auf dem Augenblatt sowie auf der Klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit entsprechend K/M, wobei K = 6 der insgesamt M = 36 gleichwahrscheinlichen Elementarereignisse „R ∩ B” dem hieraus abgeleiteten Ereignis „R = B” zugeordnet werden können, die auf der Diagonalen liegen. Würfelspieler sprechen in diesem Fall von einem Pasch.

2. Die Lösung basiert wieder auf der Klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:

In K = 2 der M = 36 Elementarfelder steht eine „3”: Pr(S = 3) = 2/36 = 0.0556.

In K = 6 der M = 36 Elementarfelder steht eine „7”: Pr(S = 7) = 6/36 = 0.1667.

In K = 18 der M = 36 Felder steht eine ungerade Zahl ⇒ Pr(S ist ungerade) = 18/36 = 0.5.

Dieses letzte Ergebnis könnte man auch auf anderem Wege erhalten:

$${\rm Pr}(S\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}) =$$

$$= {\rm Pr}\big [(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade}) \cap (B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) \big ] + {\rm Pr}\big [(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) \cap (B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade})\big ]\hspace{0.05cm}. $$

Mit Pr(R gerade) = Pr(R ungerade) = Pr(B gerade) = Pr(B ungerade) = 1/2 folgt daraus ebenfalls:

$${\rm Pr}(S\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}) = 1/2 \cdot 1/2 + 1/2 \cdot 1/2 = 1/2 \hspace{0.05cm}.$$

3. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass mindestens einer der beiden Würfel eine „6” zeigt, ist:

$${\rm Pr}\big [(R= 6) \cup (B= 6) \big ] = K/M = 11/36 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.3056} \hspace{0.05cm}.$$

Die zweite Wahrscheinlichkeit steht für den „Sechser–Pasch”:

$${\rm Pr}\big [(R= 6) \cap (B= 6) \big ] = K/M = 1/36 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.0278} \hspace{0.05cm}.$$

4. Das Ergebnis für L = 1 wurde bereits in der Teilaufgabe (3) ermittelt:

$$p_1 = {\rm Pr}\big [(R= 6) \cup (B= 6) \big ] = {11}/{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.3056} \hspace{0.05cm}.$$

Die Wahrscheinlichkeit p₂ lässt sich mit p₁ wie folgt ausdrücken:

$$p_2 = (1 - p_1) \cdot p_1 = \frac{25}{36} \cdot \frac{11}{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.2122} \hspace{0.05cm}. $$

In anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf erstmals eine „6” geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf keine „6” geworfen wurde ⇒ Wahrscheinlichkeit (1 – p₁), aber im zweiten Wurf mindestens eine „6” dabei ist ⇒ Wahrscheinlichkeit p₁. Entsprechend gilt für die Wahrscheinlichkeit „erste 6 im dritten Wurf”:

$$p_3 = (1 - p_1)^2 \cdot p_1 = \frac{25}{36} \cdot \frac{25}{36} \cdot\frac{11}{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.1474} \hspace{0.05cm}.$$

5. Durch Erweiterung der Musterlösung zur Teilaufgabe (d) erhält man:

$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig}) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} p_2 + p_4 + p_6 + ... = \\ = \hspace{0.15cm}(1 - p_1) \cdot p_1 + (1 - p_1)^3 \cdot p_1 + (1 - p_1)^5 \cdot p_1 + ... = \\ = \hspace{0.15cm}(1 - p_1) \cdot p_1 \cdot \left [ 1 + (1 - p_1)^2 + (1 - p_1)^4 + ... \hspace{0.15cm} \right ] \hspace{0.05cm}. $$

Entsprechend erhält man für die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses:

$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungeradzahlig}) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} p_1 + p_3 + p_5 + ... = \\ = \hspace{0.15cm} p_1 \cdot \left [ 1 + (1 - p_1)^2 + (1 - p_1)^4 + ... \hspace{0.15cm} \right ] \hspace{0.05cm}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungeradzahlig}) } {{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig})} = \frac{1}{1 - p_1} \hspace{0.05cm}. $$

Weiter muss gelten:

$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig}) + {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungeradzahlig}) = 1$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig}) \cdot \left [ 1 + \frac{1}{1 - p_1} \right ] = 1 $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig}) = \frac{1 - p_1}{2 - p_1} = \frac{25/36}{61/36} = \frac{25}{61} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4098} \hspace{0.05cm}.$$