Symbolwise Coding with Pseudo-Ternary Codes

Allgemeine Beschreibung von Partial Response Codes (1)

Bei der symbolweisen Codierung wird mit jedem ankommenden Quellensymbol q_ν ein Codesymbol c_ν erzeugt, das außer vom aktuellen Eingangssymbol q_ν auch von den N_C vorangegangenen Symbolen abhängt. N_C bezeichnet man als die Ordnung des Codes.

Typisch für eine symbolweise Codierung ist, dass

die Symboldauer T des Codersignals (und des Sendesignals) mit der Bitdauer T_B des binären Quellensignals übereinstimmt,

Codierung und Decodierung nicht zu größeren Zeitverzögerungen führen, die bei Verwendung von Blockcodes unvermeidbar sind.

Besondere Bedeutung besitzen die Pseudomehrstufencodes – besser bekannt unter der englischen Bezeichnung Partial Response Codes.

Im Folgenden werden ausschließlich die Pseudoternärcodes mit der Stufenzahl M = 3 betrachtet, die durch das Blockschaltbild entsprechend der linken Grafik beschreibbar sind. In der rechten Grafik ist ein Ersatzschaltbild angegeben, das für eine Analyse dieser Codes sehr gut geeignet ist.

Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Allgemeine Beschreibung von Partial Response Codes (2)

Die Beschreibung des Partial Response Coders wird fortgesetzt:

Man erkennt aus den beiden Darstellungen (Blockschaltbild links, Ersatzschaltbild rechts):

Der Pseudoternärcoder kann in den nichtlinearen Vorcodierer und ein lineares Codiernetzwerk aufgespalten werden, wenn man die Verzögerung um N_C · T und die Gewichtung mit K_C zur Verdeutlichung zweimal zeichnet.

Der nichtlineare Vorcodierer gewinnt durch eine Modulo–2–Addition (Antivalenz) zwischen den Symbolen q_ν und K_C · b_ν–Nc die vorcodierten Symbole b_ν, die ebenfalls binär sind:

\[q_\nu \in \{-1, +1\},\hspace{0.1cm} K_{\rm C} \in \{-1, +1\}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}b_\nu \in \{-1, +1\}\hspace{0.05cm}.\]

Die Symbole b_ν sind wie die Quellensymbole q_ν statistisch voneinander unabhängig. Durch den Vorcodierer wird also keine Redundanz hinzugefügt. Er gestattet aber eine einfache Realisierung des Decoders und verhindert eine Fehlerfortpflanzung nach einem Übertragungsfehler.

Die eigentliche Umcodierung von binär auf ternär bewirkt das lineare Codiernetzwerk durch die herkömmliche Subtraktion

\[c(t) ={1}/{2} \cdot \left [b(t) - K_{\rm C} \cdot b(t- N_{\rm C}\cdot T)\right] \hspace{0.05cm}.\]

Dieses ternäre Signal (Stufenzahl M = 3) weist die normierten Werte a_ν ∈ {–1, 0, +1} auf.

Weiterhin gilt für das (nun redundante) Sendesignal s(t) mit dem Sendegrundimpuls g_s(t), der im gesamten Kapitel 2.4 stets als NRZ–Rechteck vorausgesetzt wird:

\[s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.\]

Die relative Coderedundanz ist für alle Pseudoternärcodes gleich r_c = 1 – 1/log₂(3) ≈ 36.9 %.

Eigenschaften des AMI-Codes (1)

Die einzelnen Pseudoternärcodes unterscheiden sich in den Parametern N_C und K_C. Der bekannteste Vertreter ist der Bipolarcode erster Ordnung mit den Codeparametern N_C = 1 und K_C = 1, der auch unter der Bezeichnung AMI–Code (von: Alternate Mark Inversion) bekannt ist. Dieser wird zum Beispiel bei ISDN (Integrated Services Digital Networks) auf der sog. S₀–Schnittstelle eingesetzt.

Die Grafik zeigt im oberen Bereich die Signale q(t), b(t) und c(t) = s(t) für den AMI–Code. Man erkennt das einfache Codier– und Decodierprinzip dieses Codes:

Jeder Binärwert „–1” von q(t) wird durch den ternären Amplitudenkoeffizienten „0” codiert.

Der Binärwert „+1” von q(t) wird alternierend mit „+ 1” und „– 1” dargestellt.

Damit wird sichergestellt, dass im AMI–codierten Signal keine langen „+1”– bzw. „–1”–Sequenzen enthalten sind. Dagegen ist das Auftreten langer Nullfolgen durchaus möglich, bei denen über einen längeren Zeitraum keine Taktinformation übertragen wird.

Um dies zu vermeiden, wurden einige modifizierte AMI–Codes entwickelt, zum Beispiel der B6ZS– und der HDB3–Code:

Bei letzterem (grüne Kurve in obiger Grafik) werden vier aufeinanderfolgende Nullen im AMI–codierten Signal durch eine Teilsequenz ersetzt, die die AMI–Codierregel verletzt.

Im grau hinterlegten Bereich ist dies die Folge „+ 0 0 +”, da das letzte Symbol vor der Ersetzung ein „–” war.

Damit ist beim HDB3–Code die Anzahl aufeinanderfolgender Nullen auf 3 begrenzt, beim B6ZS–Code auf 5. Der Decoder erkennt diese Codeverletzung und ersetzt „+ 0 0 +” wieder durch „0 0 0 0”.

Eigenschaften des AMI-Codes (2)

Der Frequenzgang des linearen Codiernetzwerks eines Pseudoternärcodes lautet allgemein:

\[H_{\rm C}(f) = {1}/{2} \cdot \left [1 - K_{\rm C} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} N_{\rm C}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}T} \right] ={1}/{2} \cdot \left [1 - K \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \alpha} \right] \hspace{0.05cm}.\]

Damit ergibt sich für das Leistungsdichtespektrum (LDS) der Amplitudenkoeffizienten (K und α sind Abkürzungen):

\[ {\it \Phi}_a(f) = | H_{\rm C}(f)|^2 = \frac{\left [1 - K \cos (\alpha) + {\rm j}\cdot K \sin (\alpha) \right ] \left [1 - K \cos (\alpha) - {\rm j}\cdot K \sin (\alpha) \right ] }{4} \]

\[ = ... \hspace{0.15cm}= {1}/{4} \cdot \left [2 - 2 \cdot K \cdot \cos (\alpha) \right ] \]

\[ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi}_a(f) = | H_{\rm C}(f)|^2 = {1}/{2} \cdot \left [1 - K_{\rm C} \cdot \cos (2\pi f N_{\rm C} T)\right ] \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} \varphi_a(\lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.\]

Insbesondere erhält man für das Leistungsdichtespektrum des AMI–Codes (N_C = K_C = 1):

\[{\it \Phi}_a(f) = {1}/{2} \cdot \left [1 - \cos (2\pi f T)\right ] = \sin^2 (\pi f T)\hspace{0.05cm}.\]

Das LDS von HDB3– und B6ZS–Code weicht von dem des AMI–Codes nur unwesentlich ab.

Die Grafik zeigt

das Leistungsdichtespektrum Φ_a(f) der Amplitudenkoeffizienten (rote Kurve),
das Leistungsdichtespektrum Φ_s(f) des gesamten Sendesignals (blau), gültig für NRZ–Rechteckimpulse.

Man erkennt aus dieser Darstellung

die Gleichsignalfreiheit des AMI–Codes, da Φ_a(f = 0) = Φ_s(f = 0) = 0 ist,
die Leistung P_S = s₀²/2 des AMI–codierten Sendesignals (Integral über Φ_s(f) von –∞ bis +∞).

Die Eigenschaften der Pseudoternärcodes und insbesondere des AMI-Codes können Sie sich mit dem folgenden Interaktionsmodul verdeutlichen: Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes Flash Image Please add link

Eigenschaften des Duobinärcodes

Der Duobinärcode ist durch die Codeparameter N_C = 1 und K_C = –1 festgelegt. Damit ergibt sich für das LDS der Amplitudenkoeffizienten bzw. für das LDS des Sendesignals:

\[{\it \Phi}_a(f) ={1}/{2} \cdot \left [1 + \cos (2\pi f T)\right ] = \cos^2 (\pi f T)\hspace{0.05cm},\]

\[ {\it \Phi}_s(f) = s_0^2 \cdot T \cdot \cos^2 (\pi f T)\cdot {\rm si}^2 (\pi f T)= s_0^2 \cdot T \cdot {\rm si}^2 (2 \pi f T) \hspace{0.05cm}.\]

Leistungsdichtespektrum des Duobinärcodes

Die Grafik zeigt das Leistungsdichtespektrum

der Amplitudenkoeffizienten ⇒ Φ_a(f) als rote Kurve,
des gesamten Sendsignals ⇒ Φ_s(f) als blaue Kurve.

In der Grafik am Seitenende sind die Signale q(t), b(t) und c(t) = s(t) skizziert.

Aus beiden Darstellungen geht hervor:

Beim Duobinärcode können beliebig viele Symbole mit gleicher Polarität („+1” bzw. „–1”) direkt aufeinanderfolgen. Deshalb gilt Φ_a(f = 0) = 1 und Φ_s(f = 0) = s₀² · T.
Dagegen tritt hier die alternierende Folge ... , +1, –1, +1, –1, +1, ... nicht auf, die hinsichtlich Impulsinterferenzen besonders störend ist. Beim Duobinärcode gilt deshalb Φ_s(f = 1/(2T) = 0.
Das Leistungsdichtespektrum Φ_s(f) des pseudoternären Duobinärcodes ist identisch mit dem LDS bei redundanzfreier Binärcodierung mit halber Rate (Symboldauer 2T).

Die Eigenschaften der Pseudoternärcodes und insbesondere des Duobinärcodes können Sie sich mit dem Interaktionsmodul Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes Please add link flash file verdeutlichen.

Fehlerwahrscheinlichkeit der Pseudoternärcodes

Die Grafik zeigt die Augendiagramme ohne Rauschen bei Verwendung von AMI–Code (links) und Duobinärcode (Mitte) im Vergleich zum 4B3T–Code (rechts). Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie auf Seite 4 von Kapitel 2.3.

Alle Bilder gelten für eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik des Gesamtfrequenzgangs (von Sender und Empfänger) mit dem Rolloff–Faktor r = 0.8. Die Ergebnisse sind wie folgt zu interpretieren:

Beim 4B3T–Code erkennt man im Augendiagramm deutlich mehr Linien als bei den beiden linken Bildern. Der redundanzfreie Ternärcode würde nahezu das gleiche Ergebnis liefern.

Auf der oben zitierten Seite wurde die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des 4B3T–Codes für die Leistungskenngröße 10 · lg(s₀²·T/N₀) = 13 dB (Spitzenwertbegrenzung!) wie folgt berechnet:

\[{ \sigma_d}/{s_0} = 0.145 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} = {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{ \sigma_d} \right) \approx {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( 3.45 \right) = 3.7 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.\]

Bei Verwendung eines Pseudoternärcodes ergibt sich eine größere Fehlerwahrscheinlichkeit, weil hier der Rauscheffektivwert gegenüber der redundanzfreien Binärcodierung nicht verringert wird:

\[{ \sigma_d}/{s_0} = 0.167 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} = {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{ \sigma_d} \right) \approx {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( 3 \right) = 1.8 \cdot 10^{-3} \hspace{0.05cm}.\]

Bei Erfüllung der Nyquistbedingung unterscheiden sich der AMI– und der Duobinärcode trotz völlig unterschiedlicher Augendiagramme nicht hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit.

Wie aber in Kapitel 3.4 noch gezeigt werden wird, ist das Fehlerverhalten der beiden Codes immer dann extrem unterschiedlich, wenn Impulsinterferenzen eine Rolle spielen.

Man erkennt in der linken Grafik, dass beim AMI–Code die horizontalen Linien bei +s₀ bzw. –s₀ fehlen (Gleichsignalfreiheit), während beim Duobinärcode (mittlere Grafik) keine Übergänge von +s₀ auf –s₀ (und umgekehrt) möglich sind.

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