Exercise 3.10: Noise Power Calculation
Betrachtet werden die Phasen– und Frequenzmodulation einer Cosinusschwingung mit der Frequenz $f_N$. Zunächst gelte für die Nachrichtenfrequenz $f_N = f_5 = 5 kHz$ und der Modulationsindex (Phasenhub) sei $η = 5$.
Bei Vorhandensein von additivem Gaußschen Rauschen mit der Rauschleistungsdichte N0 ergibt sich nach dem PM–Demodulator eine konstante Rauschleistungsdichte $Φ_{υ, PM}(f) = Φ_0$, die auch vom Modulationsindex abhängt: $${\it \Phi}_0 = \frac{N_0}{\eta^2} \hspace{0.05cm}.$$ Für die Berechnung der Rauschleistung $P_R$ ist lediglich der Frequenzbereich von $±f_N$ relevant (siehe Grafik).
Die Rauschleistungsdichte nach der FM–Demodulation lautet mit dem Frequenzhub $Δf_A$: $${\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f) = N_0 \cdot \left(\frac{f}{\Delta f_{\rm A}}\right)^2 \hspace{0.05cm}.$$ Gegeben ist der Rauschabstand $10 · lg ρ_υ = 50 dB$ für Phasenmodulation und $f_N = 5 kHz$. Gesucht sind in dieser Aufgabe der Rauschabstand bei FM ($f_N = 5 kHz$) sowie die sich ergebenden Rauschabstände von PM und FM für die Nachrichtenfrequenz $f_N = f_{10} = 10 kHz$.
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 3.3.
Fragebogen
Musterlösung
2. Bei Frequenzmodulation und der Nachrichtenfrequenz $f_N = 5 kHz$ erhält man für die Rauschleist
$$P_{\rm R} = \int_{-f_{\rm N}}^{ + f_{\rm N}} {\it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.08cm}FM} } (f)\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0}{\Delta f_{\rm A}^{\hspace{0.1cm}2}} \cdot \int_{0}^{ f_{\rm N}} f^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}^{\hspace{0.1cm}3}}{3 \cdot \Delta f_{\rm A}^2} \hspace{0.05cm}.$$
Unter Berücksichtigung von $Δf_A = η · f_N$ (Frequenzhub) ergibt sich somit:
$$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}}{3 \cdot \eta^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v }= \frac{3 \cdot \eta^2 \cdot P_{\rm S}}{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm N}} = 3 \cdot \rho_{v {\rm , \hspace{0.08cm}PM}}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: Die Frequenzmodulation ist um den Faktor 3 (oder 4.77 dB) besser als die PM:
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}{3}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 54.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
3. Entsprechend dem Ergebnis aus b) erhält man mit $f_{10} = 10 kHz$: $$P_{\rm R} = \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 10}}{3 \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}} = \frac{ f_{\rm 10} \cdot \eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}}{ 3 \cdot f_{\rm 5} \cdot \eta_{10}^{\hspace{0.1cm}2}}\cdot \frac{2 \cdot N_0 \cdot f_{\rm 5}}{\eta_{5}^{\hspace{0.1cm}2}} \hspace{0.05cm}.$$ Der zweite Term gibt die Rauschleistung des Vergleichssystems (Phasenmodulation, $f_N = f_5$) an, die zum Ergebnis $10 · lg ρ_υ = 50 dB$ geführt hat.
Bei FM ist nun jedoch der Modulationsindex umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz, so dass der Quotient $η_5^2/η_{10}^2 = 4$ ist. Somit ergibt sich für den Vorfaktor 8/3. Aufgrund der größeren Rauschleistung ist das SNR kleiner: $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 50\,{\rm dB} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}({8}/{3})\hspace{0.15cm}\underline {\approx 45.74\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ Bei gleicher Nachrichtenfrequenz $f_N = 10 kHz$ ist nun die FM um 1.25 dB schlechter als die PM, da sich nun die Halbierung von η – nach Quadrierung der Faktor 4 – stärker auswirkt als der systembedingte Faktor 3, um den die FM gegenüber der PM überlegen ist.
Der Vergleich der Teilaufgaben b) und c) zeigt einen Unterschied um den Faktor 8 bzw. 9.03 dB. Der ungünstigere Wert für die größere Nachrichtenfrequenz $f_N = 10 kHz$ ergibt sich durch den nur halb so großen Modulationsindex – nach Quadrierung Faktor 4 – und die doppelte Rauschbandbreite.
