Exercise 5.8Z: Cyclic Prefix and Guard Interval
Wir gehen in dieser Aufgabe von einem OFDM–System mit N = 8 Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand $f_0$ sei 4 kHz. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes. Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit $τ_1 = 50 μs$ und $τ_2 = 125 μs$: $$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$ Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz (Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite) um den Faktor $$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}} $$ und führt auch zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert β. Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR–Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten gS(t) und gE(t) von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer T angepasst sind (Matched–Filter–Ansatz).
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.6.
Fragebogen
Musterlösung
2. Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Verzögerung (hier: $τ_2 = 125 μs$) des Kanals ⇒ $T_G = 125 μs$.
3. Für die Rahmendauer gilt somit: $$ T_{\rm{R}} = T + T_{\rm{G}}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm \mu s}}.$$
4. Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden. Die Lückendauer $T_G$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird. Im vorliegenden Beispiel muss $T_G ≥ 125 μs$ sein. Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.
5. Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt. Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Kernsymboldauer T eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, auch wenn andere Träger aktiv sind. Das heißt: Beide Lösungsvorschläge sind zutreffend.
6. Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Kernsymbols ist gleich der Anzahl N = 8 der Träger. Wegen $T_G = T/2$ gilt $N_G = 4$ und damit $N_{gesamt} = 12$.
7. Die Belegung des ersten Trägers (Frequenz $f_0$) mit dem Koeffizienten –1 führt zu den Abtastwerten
d0 = –1, d1 = –0.707 – j · 0.707, d2 = –j, d3 = + 0.707 – j · 0.707,
d4 = + 1, d5 = +0.707 + j · 0.707, d6 = j, d7 = –0.707 + j · 0.707.
Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte d–1 = d7, d–2 = d6, d–3 = d5 und d–4 = d4:
$$\underline{{\rm Re}\{d_{-1}\} = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}\{d_{-1}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{d_{-2}\} = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-2}\} = 1},$$ $$\underline{{\rm Re}\{d_{-3}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}\{d_{-3}\} = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{d_{-4}\} = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}\} = 0}.$$
8. Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich $$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$ 9. Die Bandbreiteneffizienz β = 2/3 führt zu einem SNR–Verlust von $$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$