Exercise 4.6Z: Locality Curve for Phase Modulation

Wir gehen hier von einem Nachrichtensignal $q(t)$ aus, das normiert (dimensionslos) betrachtet wird. Der Maximalwert dieses Signal ist $q_{max} = 1$ und der minimale Signalwert beträgt $q_{min} = –0.5$. Ansonsten ist über $q(t)$ nichts bekannt.

Das modulierte Signal lautet bei Phasenmodulation:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t + \eta \cdot q(t)).$$

Hierbei bezeichnet $\eta$ den so genannten Modulationsindex. Auch die Hüllkurve $s_0$ sei eine dimensionslose Größe, die im Folgenden zu 2 gesetzt wird (siehe Grafik).

Ersetzt man in dieser Gleichung die Cosinus– durch die komplexe Exponentialfunktion, so kommt man zum analytischen Signal

$$s_{\rm +}(t) = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t + \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t)) }.$$

Daraus kann man das in der Grafik skizzierte äquivalente TP-Signal wie folgt berechnen:

$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm +}(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t } = s_0\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \eta \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} q(t) }.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.3.

Fragebogen

$a(t = 0)$ =

$\phi_{min}$ = $-$

$\text{Grad}$

$\phi_{min}$ =

$\text{Grad}$

$\eta$ =

	Aus $q(t) = –0.5 = \text{const}$. folgt $s(t) = s_0 \cdot \cos (\omega_T \cdot t)$.
	Bei einem Rechtecksignal $q(t) \Rightarrow$ zwei mögliche Signalwerte $\pm 0.5$ entartet die Ortskurve zu zwei Punkten.
	Mit den Signalwerten $\pm 1$ wird die Ortskurve zu einem Punkt: $s_{TP}(t) = –s_0$. Hinweis: Die Angabe $q_{min} = –0.5$ gilt hier nicht.

Musterlösung

Solution

1. Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit Radius 2. Deshalb ist die Betragsfunktion $a(t)$ konstant gleich 2.

2. Aus der Grafik ist zu erkennen, dass $\phi_{min} \underline{= –\pi /2 (–90°)}$ und $\phi_{max} \underline{= +\pi (180°)}$ ist.

3. Allgemein gilt folgender Zusammenhang:

$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}.$$

Ein Vergleich mit der gegebenen Funktion liefert:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t).$$

Der maximale Phasenwert $\phi_{max} = \pi (180°)$ ergibt sich für die Signalamplitude $q_{max} = 1$. Daraus folgt direkt $\underline{\eta = \pi}$. Dieser Modulationsindex wird durch die Werte $\phi_{min} = –\pi /2$ und $q_{min} = –0.5$ bestätigt.

4. Ist $q(t) = \text{const.} = –0.5$, so ist die Phasenfunktion ebenfalls konstant:

$$\phi(t) = \eta \cdot q(t) = - \frac{\pi}{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = - {\rm j} \cdot s_0 = - 2{\rm j}.$$

Somit gilt für das tatsächliche, physikalische Signal:

$$s(t) = s_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\hspace{0.05cm} t - \frac{\pi}{2}) = 2 \cdot {\sin} ( \omega_{\rm T} \hspace{0.05cm} t ).$$

Dagegen führt $q(t) = 0.5$ zu $\phi (t) = \pi /2$ und $s_{TP}(t) = 2j$. Ist $q(t)$ ein Rechtecksignal, das abwechselnd die Werte $+0.5$ und $–0.5$ annimmt, besteht somit die Ortskurve nur aus zwei Punkten auf der imaginären Achse, und zwar unabhängig davon, wie lange die Intervalle mit $+0.5$ und $–0.5$ dauern.

Gilt dagegen $q(t) = \pm 1$, so ergeben sich rein formal die möglichen Phasenwerte $+\pi$ und $–\pi$, die aber identisch sind. Die „Ortskurve” besteht dann nur aus einem einzigen Punkt: $s_{TP}(t) = – s_0 \Rightarrow$ das Signal $s(t)$ ist „minus-cosinusförmig”.

Richtig sind der zweite und der dritte Lösungsvorschlag.