Exercise 5.1: Sampling Theorem

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Gegeben ist ein Analogsignal $x(t)$ entsprechend der Skizze.

• Bekannt ist, dass dieses Signal keine höheren Frequenzen als $B_{\rm NF} = 4 \ \text{kHz}$ beinhaltet.
• Durch Abtastung mit der Abtastrate $f_{\rm A}$ erhält man das in der Grafik rot eingezeichnete Signal $x_{\rm A}(t)$.
• Zur Signalrekonstruktion wird ein Tiefpass verwendet, für dessen Frequenzgang gilt:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |f| < f_1 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_2 \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$

Der Bereich zwischen den Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ ist für die Lösung dieser Aufgabe nicht relevant.

Die Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ sind so zu bestimmen, dass das Ausgangssignal $y(t)$ des Tiefpasses mit dem Signal $x(t)$ exakt übereinstimmt. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.1. Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul: Abtastung periodischer Signale und Signalrekonstruktion

Fragebogen

1

Ermitteln Sie aus der Grafik die zugrundeliegende Abtastrate.

$f_A=$ kHz

2

Bei welchen Frequenzen besitzt $X_A(f)$ mit Sicherheit keine Anteile?

	$f= $ 2.5 kHz
	$f= $ 5.5 kHz
	$f= $ 6.5 kHz
	$f= $ 34.5 kHz

3

Bis zu welcher Eckfrequenz $f_1$ wird das Signal perfekt rekonstruiert?

$f_{1,\text{min}}=$ kHz

4

Bis zu welcher Eckfrequenz $f_2$ wird das Signal perfekt rekonstruiert?

$f_{2,\text{min}}=$ kHz

Musterlösung

Solution

1. Der Abstand zweier benachbarter Abtastwerte beträgt $T_A$ = 0.1 ms. Somit erhält man für die Abtastrate $f_A$ = 1/ $T_A$ = 10 kHz.

2. Das Spektrum $X_A(f)$ des abgetasteten Signals erhält man aus $X(f)$ durch periodische Fortsetzung im Abstand $f_A$ = 10 kHz. Aus der Skizze erkennt man, dass $X_A(f)$ durchaus Anteile bei $f$ = 2.5 kHz und $f$ = 6.5 kHz besitzen kann, nicht jedoch bei $f$ = 5.5 kHz. Auch bei $f$ = 34.5 kHz wird $X_A(f)$ = 0 gelten. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 4.

3. Es muss sichergestellt sein, dass alle Frequenzen des Analogsignals mit $H(f)$ = 1 bewertet werden. Daraus folgt (siehe Skizze): $f_{1, \text{min}}$ = BNF = 4 kHz.

4. Ebenso muss garantiert werden, dass alle Spektralanteile von $X_A(f)$, die in $X(f)$ nicht enthalten sind, durch den Tiefpass entfernt werden. Entsprechend der Skizze gilt $f_{2, \text{max}}$ = $f_A$ – BNF = 6 kHz.