Exercise 5.2: Inverse Discrete Fourier Transform

Bei der Diskreten Fouriertransformation (DFT) werden aus den $N$ Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ⇒ Abtastwerte des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$ – die $N$ Spektralbereichskoeffizienten $D(\mu)$ berechnet. Mit $\nu = 0, ... , N – 1$ und $\mu = 0, ... , N – 1$ gilt:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $w$ den komplexen Drehfaktor:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Für die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) ⇒ „Umkehrfunktion” der DFT gilt entsprechend:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen für verschiedene Beispielfolgen $D(\mu)$ – die in obiger Tabelle mit „A”, ... , „E” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(\nu)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Diskrete Fouriertransformation (DFT).
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Zu der hier behandelten Thematik gibt es auch ein Interaktionsmodul:

Diskrete Fouriertransformation

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 5.2. Diese können Sie sich auch mit folgendem Interaktionsmodul verdeutlichen: Diskrete Fouriertransformation

Fragebogen

$D(\mu ) {\rm \; gemäß \; Spalte \; A\hspace{-0.1cm }:}$ $d(0)$ =

$d(1)$ =

$D(\mu ) {\rm \; gemäß \; Spalte \; B\hspace{-0.1cm }:}$ $d(0)$ =

$d(1)$ =

$D(\mu ) {\rm \; gemäß \; Spalte \; C\hspace{-0.1cm }:}$ $d(0)$ =

$d(1)$ =

$D(\mu ) {\rm \; gemäß \; Spalte \; D\hspace{-0.1cm }:}$ $d(0)$ =

$d(1)$ =

$D(\mu ) {\rm \; gemäß \; Spalte \; E\hspace{-0.1cm }:}$ $d(0)$ =

$d(1)$ =

Musterlösung

Solution

1. Aus der IDFT–Gleichung wird mit $D(\mu)$ = 0 für $\mu \approx$ 0:

$$d(\nu) = D(0) \cdot w^0 = D(0) =1\hspace{0.5cm}(0 \le \nu \le 7)$$

$$\Rightarrow\hspace{0.5cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = d(1) = 1}.$$

Dieser Parametersatz beschreibt die diskrete Form der Fourierkorrespondenz des Gleichsignals:

$$x(t) = 1 \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = {\delta}(f) \hspace{0.05cm}.$$

2. Alle Spektralkoeffizienten sind 0 mit Ausnahme von $D_1$ = $D_7$ = 0.5. Daraus folgt für 0 ≤ $ν$ ≤ 7:

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} \hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /4) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{4} \cdot \nu \right)$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) = {1}/{\sqrt{2}} \approx 0.707} \hspace{0.05cm}.$$

Es handelt sich also um das zeitdiskrete Äquivalent zu

$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$

wobei $f_A$ die kleinste in der DFT darstellbare Frequenz bezeichnet.

3. Gegenüber Aufgabe 2) ist nun die Frequenz doppelt so groß, nämlich 2 · $f_A$ anstelle von $f_A$:

$$x(t) = \cos(2 \pi \cdot (2f_{\rm A}) \cdot t) \hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} X(f) = \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f + 2f_{\rm A}) + \frac {1}{2} \cdot {\delta}(f - 2f_{\rm A}) \hspace{0.05cm},$$

Damit beschreibt die Folge 〈 $d(ν)$〉 zwei Perioden der Cosinusschwingung, und es gilt für 0 ≤ $ν$ ≤ 7:

$$ d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left({\pi}/{2} \cdot \nu \right)$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 1, \hspace{0.2cm}d(1) = 0} \hspace{0.05cm}.$$

4. Durch eine weitere Verdoppelung der Cosinusfrequenz auf 4 $f_A$ kommt man schließlich zur zeitkontinuierlichen Fourierkorrespondenz

$$d(\nu) = 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} + 0.5 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} = \cos \left(\pi \cdot \nu \right) \hspace{0.05cm}$$

und damit zu den Zeitkoeffizienten

$$d(0) =d(2) =d(4) =d(6) \hspace{0.15 cm}\underline{= +1}, \hspace{0.2cm}d(1) =d(3) =d(5) =d(7) \hspace{0.15 cm}\underline{= -1} \hspace{0.05cm}.$$

Zu beachten ist, dass die beiden Diracfunktionen in der zeitdiskreten Darstellung aufgrund der Periodizität zusammenfallen. Das heißt: Die Koeffizienten $D$ (4) = 0.5 und $D$ (-4) = 0.5 ergeben zusammen $D$ (4) = 1.

5. Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenfalls linear. Deshalb ist das Superpositionsprinzip weiterhin anwendbar. Die Koeffizienten $D(\mu )$ aus Spalte E ergeben sich als die Summen der Spalten A und D. Deshalb wird aus der alternierenden Folge 〈 $d(ν)$〉 entsprechend Teilaufgabe 4) die um 1 nach oben verschobene Folge:

$$ \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) =d(2) =d(4) =d(6)= 2}, \hspace{0.2cm}\hspace{0.15 cm}\underline{d(1) =d(3) =d(5) =d(7) = 0} \hspace{0.05cm}.$$