Exercise 5.3Z: Zero-Padding

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Wir betrachten die DFT eines Rechteckimpulses $x(t)$ der Höhe $1$ und der Dauer $T$. Damit hat die Spektralfunktion $X(f)$ einen $\sin(f)/f$–förmigen Verlauf.

Für diesen Sonderfall soll der Einfluss des DFT–Parameters $N$ analysiert werden, wobei der Stützstellenabstand im Zeitbereich stets $T_{\rm A} = 0.01T$ bzw. $T_{\rm A} = 0.05T$ betragen soll.

Nebenstehend sind für unterschiedliche Werte von $N$ die sich ergebenden Werte für den mittleren quadratischen Fehler (MQF) der Stützwerte im Frequenzbereich angegeben:

$${\rm MQF} = \frac{1}{N}\cdot \sum_{\mu = 0 }^{N-1} \left|X(\mu \cdot f_{\rm A})-\frac{D(\mu)}{f_{\rm A}}\right|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Für $T_A/T = 0.01$ sind somit stets $101$ der DFT–Koeffizienten $d(ν)$ von 0 verschieden.

• Davon besitzen $99$ den Wert $1$ und die beiden Randkoeffizienten sind jeweils gleich $0.5$.

• Vergrößert man $N$, so wird das DFT–Koeffizientenfeld mit Nullen aufgefüllt. Man spricht von „Zero–Padding”.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Die Theorie zu diesem Kapitel ist auch im folgenden Lernvideo zusammengefasst:

Fehlermöglichkeiten bei Anwendung der DFT (Dauer 7:26)

Fragebogen

1

Welche Aussagen können aus den angegebenen MQF-Werten (gültig für $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $N ≥ 128$) abgeleitet werden?

	Der MQF–Wert ist hier nahezu unabhängig von $N$.
	Der MQF–Wert wird durch den Abbruchfehler bestimmt.
	Der MQF–Wert wird durch den Aliasingfehler bestimmt.

2

Es gelte $T_{\rm A}/T = 0.01$. Wie groß ist der Abstand $f_{\rm A}$ benachbarter Abtastwerte im Frequenzbereich für $N = 128$ und $N = 512$?

$N = 128$:     $f_{\rm A} \cdot T $  =

$N = 512$:     $f_{\rm A} \cdot T $  =

3

Was sagt das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ hinsichtlich der DFT–Qualität aus?

	Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ berücksichtigt Genauigkeit und Dichte der DFT–Werte.
	Das Produkt $\text{MQF} \cdot f_{\rm A}$ sollte möglichst groß sein.

4

Es wird nun ein konstantes $N = 128$ vorausgesetzt. Welche Aussagen gelten für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $T_{\rm A}/T = 0.05$ ?

	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ ist der MQF–Wert kleiner.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

5

Welche Aussagen treffen dagegen für den Vergleich der DFT–Ergebnisse mit $T_{\rm A}/T = 0.01$ und $T_{\rm A}/T = 0.05$ bei $N = 64$ zu?

	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ erhält man eine feinere Frequenzauflösung.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ ist der MQF–Wert kleiner.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ nimmt der Einfluss des Abbruchfehlers ab.
	Mit $T_{\rm A}/T = 0.05$ wächst der Einfluss des Aliasingfehlers.

Musterlösung

Solution

1. Bereits mit $N = 128$ ist $T_P = 1.28 T$, also größer als die Breite des Rechtecks. Somit spielt hier der Abbruchfehler überhaupt keine Rolle. Der MQF–Wert wird allein durch den Aliasingfehler bestimmt. Die Zahlenwerte bestätigen eindeutig, dass MQF (nahezu) unabhängig von $N$ ist. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.

2. Aus $T_A/T = 0.01$ folgt $f_P \cdot T = 100$. Die Stützwerte von $X(f)$ liegen im Bereich $–50 ≤ f \cdot T < 50$. Für den Abstand zweier Abtastwerte im Frequenzbereich gilt $f_A = f_P/N$. Daraus ergeben sich folgende Ergebnisse: $f_A \cdot T \approx 0.781$ (für $N = 128$) bzw. $f_A \cdot T \approx 0.196$ (für $N = 512$).

3. Für $N = 128$ ergibt sich für das Produkt MQF $\cdot f_A \approx 4.7 \cdot 10^{–6}/T$, für $N = 512$ dagegen ein um den Faktor 4 kleinerer Wert. Durch „Zero–Padding” wird keine größere Genauigkeit der DFT erzielt, dafür aber eine feinere „Auflösung” des Frequenzbereichs. Das Produkt MQF $\cdot f_A$ berücksichtigt diese Tatsache; es sollte stets möglichst klein sein. Richtig ist die erste Aussage.

4. Wegen $T_A \cdot f_A \cdot N = 1$ ergibt sich bei konstantem $N$ immer dann ein kleinerer $f_A$–Wert, wenn man $T_A$ vergrößert. Aus der Tabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass damit der mittlere quadratische Fehler MQF signifikant (um den Faktor $400$) vergrößert wird. Dieser Effekt ist auf die Zunahme des Aliasingfehlers zurückzuführen, da durch den Übergang von $T_A/T = 0.01$ auf $T_A/T = 0.05$ die Frequenzperiode um den Faktor $5$ kleiner wird. Dagegen spielt der Abbruchfehler beim Rechteckimpuls weiterhin keine Rolle, solange $T_P = N \cdot T_A$ größer ist als die Impulsdauer $T$. Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 1 und 4.

5. Alle Aussagen treffen zu. Mit den Parameterwerten $N = 64$ und $T_A/T = 0.01$ tritt ein extrem großer Abbruchfehler auf. Alle Zeitkoeffizienten sind hier $1$, so dass die DFT fälschlicherweise ein Gleichsignal anstelle der Rechteckfunktion interpretiert.