Exercise 5.4: Comparison of Rectangular and Hanning Window

Gegeben sei der prinzipielle Zeitverlauf eines periodischen Signals:

$$x(t) = A_1 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + A_2 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_2 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Unbekannt und damit zu schätzen seien dessen Parameter $A_1$, $f_1$, $A_2$ und $f_2$.

Nach Gewichtung des Signals mit der Fensterfunktion $w(t)$ wird das Produkt $y(t) = x(t) \cdot w(t)$ einer Diskreten Fouriertransformation (DFT) mit den Parametern $N = 512$ und $T_{\rm P}$ unterworfen. Die Zeitdauer $T_{\rm P}$ des zu analysierenden Signalausschnitts kann vom Benutzer beliebig eingestellt werden.

Für die Fensterung stehen folgende Funktionen zur Verfügung, die jeweils für $|t| > T_{\rm P}/2$ identisch 0 sind:

Das Rechteckfenster:

$${w} (\nu) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

$$W(f) ={1}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {f}/{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm},$$

das Hanning–Fenster:

$${w} (\nu) = \left\{ \begin{array}{c} 0.5 + 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot \frac{\nu}{N}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -N/2 \le \nu < N/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}, \\ \end{array}$$

$$W(f) ={0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f}{f_{\rm A}})+ {0.25}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f-f_{\rm A}}{f_{\rm A}})+ {0.5}/{f_{\rm A}}\cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{f+f_{\rm A}}{f_{\rm A}})\hspace{0.05cm}.$$

Beachten Sie, dass die Frequenzauflösung $f_{\rm A}$ gleich dem Kehrwert des einstellbaren Parameters $T_{\rm P}$ ist. $W(f)$ ist die Fouriertransformierte der zeitkontinuierlichen Fensterfunktion $w(t)$, während die oben angegebene Funktion $w(ν)$ die zeitdiskrete Gewichtungsfunktion angibt.

Im Laufe der Aufgabe wird auf verschiedene Spektralfunktionen $Y(f)$ Bezug genommen, zum Beispiel auf

$$Y_{\rm A}(f) = 1\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm 1\,\,{\rm kHz})+ 0.5\,\, {\rm V}\cdot {\rm \delta} (f \pm 1.125\,\,{\rm kHz}) \hspace{0.05cm}.$$

In der obigen Grafik sind zwei weitere Spektralfunktionen $Y_{\rm B}(f)$ und $Y_{\rm C}(f)$ abgebildet, die sich ergeben, wenn ein $1 \ \text{kHz}$–Signal mittels DFT analysiert wird und der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 8.5 \ \text{ms}$ ungünstig gewählt ist.

Für eines der Bilder ist das Rechteckfenster zugrundegelegt, für das andere das Hanning–Fenster. Nicht angegeben wird, welche Spektralfunktion zu welchem Fenster gehört.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel pektralanalyse.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	Zur Gewichtung wurde das Rechteckfenster verwendet.
	Zur Gewichtung wurde das Hanning–Fenster verwendet.
	Es wurde der DFT–Parameter $T_{\rm P} = 4\ \text{ms}$ verwendet.
	Das DFT–Spektrum $Y_{\rm A}(f)$ ist identisch mit dem Spektrum $X(f)$.

$G(f_1 = 1 \ \text{kHz}) =$

$\text{V}$

$G(f_1 = 1.125 \ \text{kHz}) =$

$\text{V}$

	$Y_{\rm B}(f)$ergibt sich bei Rechteckfensterung.
	$Y_{\rm B}(f)$ ergibt sich mit dem Hanning-Fenster.

Musterlösung

Solution

1. Bei Verwendung des Hanning–Fensters müssten zunächst 3 Diracfunktionen zu erkennen sein, auch wenn $x(t)$ nur eine Frequenz beinhaltet ⇒ es wurde das Rechteckfenster verwendet. Mit $T_P$ = 4 ms ergibt sich für die Frequenzauflösung $f_A = 1/T_P = 0.25$ kHz. Damit liegt die Frequenz $f_2$ nicht im vorgegebenen Raster und $Y(f)$ würde sich aus sehr vielen Diraclinien zusammensetzen. Das heißt: die dritte Aussage ist falsch. Wie aus der nachfolgenden Grafik hervorgeht, hat $x(t)$ die Periodendauer $T_0$ = 8 ms. Wählt man den DFT–Parameter gleich $T_P$ = 8 ms (oder ein ganzzahliges Vielfaches davon), so stimmt die periodische Fortsetzung $P\{ x(t)\} $ im Intervall $|t| \leq T_P/2$ mit $x(t)$ überein, so dass sich die Gewichtungsfunktion $w(t)$ nicht störend auswirkt: Das DFT–Spektrum $Y(f)$ stimmt somit mit dem tatsächlichen Spektrum überein. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 4.

2. Wegen $T_P$ = 8 ms setzt sich das Hanning–Spektrum $W(f)$ aus drei Diracfunktionen bei positiven Frequenzen und drei dazu achsensymmetrischen Diracs bei negativen Frequenzen zusammen. Für die positiven Frequenzen lautet die Spektralfunktion:

$$W(f) =0.5\cdot {\rm \delta}(f) + 0.25\cdot {\rm \delta}(f-f_{\rm A})+ 0.25\cdot {\rm \delta}(f+f_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Das Ausgangsspektrum ergibt sich aus der Faltung zwischen $X(f)$ und $W(f)$. Bei positiven Frequenzen ergeben sich nun vier Diracs mit folgenden Gewichten:

$$\begin{align*} G(f = 0.875\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.250\, {\rm V}, \\ G(f = f_1 = 1.000\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.5 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.625\, {\rm V}}, \\ G(f = f_2 = 1.125\,{\rm kHz}) & = 1\, {\rm V}\cdot 0.25 + 0.5\, {\rm V}\cdot 0.5 \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.500\, {\rm V}}, \\ G(f = 1.250\,{\rm kHz}) & = 0.5\, {\rm V}\cdot 0.25 = 0.125\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Die folgende Grafik zeigt die Abschwächung der Ränder durch die Gewichtungsfunktion $w(t)$ des Hanning–Fensters.

3. Das Rechteck–Fenster liefert dann ein sehr stark verfälschtes Ergebnis, wenn die Fensterbreite $T_P$ (wie hier) nicht an die Frequenz des Cosinussignals angepasst ist. In diesem Fall ist das Hanning–Fenster besser geeignet. Daraus folgt: Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag.