Exercise 3.1: Phase Modulation Locus Curve

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Die Grafik zeigt Ortskurven am Ausgang zweier Modulatoren $M_1$ und $M_2$. Real- und Imaginärteil sind in dieser Grafik jeweils auf 1 V normiert. Unter der Ortskurve versteht man allgemein die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals $s_{TP}(t)$ in der komplexen Ebene.

Das Quellensignal sei bei beiden Modulatoren gleich: $$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} \cdot t),\hspace{1cm}$$ $${\rm mit}\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 2\,{\rm V},\hspace{0.2cm}f_{\rm N} = 5\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ Einer der beiden Modulatoren realisiert eine Phasenmodulation, die durch folgende Gleichungen gekennzeichnet ist: $$ s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) \right)\hspace{0.05cm},$$ $$ s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm},$$ $$ \phi(t) = K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$ Den Maximalwert von $ϕ(t)$ nennt man Modulationsindex $η$ – teilweise wird diese Größe in der Literatur auch als Phasenhub bezeichnet.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1.

$P_x$

Fragebogen

1

Welches Modulationsverfahren verwendet der Modulator $M_1$?

	Zweiseitenband–Amplitudenmodulation.
	Einseitenband–Amplitudenmodulation.
	Phasenmodulation.

2

Welches Modulationsverfahren verwendet der Modulator $M_2$?

	Zweiseitenband–Amplitudenmodulation.
	Einseitenband–Amplitudenmodulation.
	Phasenmodulation.

3

Wie groß ist die Trägeramplitude $A_T$ beim Phasenmodulator? Beachten Sie die Normierung auf 1 V.

$A_T$ = $V$

4

Welche Werte besitzen der Modulationsindex und die Modulatorkonstante?

$η$ =

$K_{PM}$ = $1/V$

5

Beschreiben Sie die Bewegung auf der Ortskurve. Zu welcher Zeit $t_1$ wird zum ersten Mal wieder der Ausgangspunkt $s_{TP}(t = 0) = –1V$ erreicht?

$t_1$ = $μs$

Musterlösung

Solution

1. Es handelt sich um eine ESB–AM mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ = 1$ ⇒ Antwort 2. Bewegt man sich auf dem Kreis in mathematisch positive Richtung, so liegt speziell eine OSB–AM vor, andernfalls eine USB–AM.

Die Phasenfunktion $ϕ(t)$ als der Winkel eines Punktes $s_{TP}(t)$ auf dem Kreis(bogen) bezogen auf den Koordinatenursprung kann Werte zwischen $±π/2$ annehmen und zeigt keinen Cosinusverlauf. Aber auch die Hüllkurve $a(t) = |s_{TP}(t)|$ ist nicht cosinusförmig. Würde man beim Empfänger für $M_1$ einen Hüllkurvendemodulator einsetzen, so käme es zu nichtlinearen Verzerrungen im Gegensatz zur ZSB–AM, deren Ortskurve eine horizontale Gerade ist.

2.Hier handelt es sich um die Phasenmodulation ⇒ Antwort 3. Die Einhüllende $a(t) = A_T$ ist konstant, während die Phase $ϕ(t)$ entsprechend dem Quellensignal cosinusförmig verläuft.

3. Bei der Phasenmodulation gilt $$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm}.$$ Aus der Grafik kann man die Trägeramplitude $A_T = 1 V$ als den Kreisradius ablesen.

4.Das Quellensignal $q(t)$ ist zum Zeitpunkt $t = 0$ maximal und damit auch die Phasenfunktion: $$ \eta = \phi_{\rm max} = \phi( t =0)\hspace{0.15cm}\underline { = \pi} \hspace{0.05cm}.$$ Daraus erhält man für die Modulatorkonstante: $$K_{\rm PM} = \frac{\eta}{A_{\rm N}} = \frac{\pi}{2\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.571\,{\rm V}^{-1}}\hspace{0.05cm}.$$

5.Man bewegt sich auf dem Kreis(bogen) im Uhrzeigersinn. Nach einem Viertel der Periodendauer $T_N = 1/f_N = 200 μs$ ist $ϕ(t) = 0$ und $s_{TP}(t) = 1 V$. Zur Zeit $t_1 = T_N/2 = 100 μs$ gilt $ϕ(t_1) = –π$ und $s_{TP}(t_1) = –1 V$. Danach bewegt man sich auf dem Kreisbogen entgegen dem Uhrzeigersinn.