Exercise 2.3: Sinusoidal Characteristic

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Sinusförmige Kennlinie

Wie betrachten ein System mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y(t)$. Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet.

Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $y(t)$ ist im Bereich zwischen $-\pi/2$ und $+\pi/2$ durch die folgende Kennlinie gegeben. $$g(x) = \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \hspace{0.05cm}...$$

Der zweite Teil dieser Gleichung beschreibt dabei die Reihenentwicklung der Sinusfunktion. Als Näherungen für die nichtlineare Kennlinie werden in dieser Aufgabe verwendet: $$g_1(x) = x\hspace{0.05cm},$$ $$ g_3(x) = x- x^{3}\hspace{-0.1cm}/6\hspace{0.05cm},$$ $$g_5(x) = x- x^3\hspace{-0.1cm}/{6}+x^5\hspace{-0.1cm}/{120}\hspace{0.05cm}.$$

Es wird stets das Eingangssignal $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ vorausgesetzt, wobei für die (dimensionslose) Signalamplitude die Werte $A = 0.5$, $A = 1.0$ und $A = 1.5$ zu betrachten sind.

Hinweise:

  • Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
  • Die sich ergebenden Signalverläufe für $x(t)$ und $y(t)$ sind im Beispiel auf der Seite Beschreibung nichtlinearer Systeme grafisch dargestellt.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand $R = 1 \ \rm \Omega$ und haben somit die Einheit ${\rm V}^2$
  • Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

$$\cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha) \hspace{0.05cm}, $$ $$ \cos^5(\alpha) = {10}/{16} \cdot \cos(\alpha) + {5}/{16} \cdot \cos(3\alpha) + {1}/{16} \cdot \cos(5\alpha)\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Welchen Klirrfaktor $K$ erhält man mit der Kennliniennäherung $g_1(x)$ unabhängig von der Amplitude $A$ des Eingangssignals?

$g_1(x)\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = $

$\ \%$

2

Berechnen Sie den Klirrfaktor $K$ für das Eingangssignal $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ und die Näherung $g_3(x)$. Welche Werte ergeben sich für $A = 0.5$ und $A = 1.0$?

$g_3(x),\ A = 0.5\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = $

$\ \%$
$g_3(x),\ A = 1.0\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = $

$\ \%$

3

Wie lautet der Klirrfaktor für $A = 1.0$ unter Berücksichtigung der Näherung $g_5(x)$?

$g_5(x),\ A = 1.0\hspace{-0.08cm}:\ \ K = $

$\ \%$

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Hierbei bezeichnet $K$ den Klirrfaktor der Sinusfunktion $g(x)$, während $K_{\rm g3}$ und $K_{\rm g5}$ auf den Näherungen $g_3(x)$ und $g_5(x)$ basieren.

$K_{\rm g5}$ stellt im Allgemeinen eine bessere Näherung für $K$ dar als $K_{\rm g3}$.
Für $A = 1.0$ ist $K_{\rm g3}$ kleiner als $K_{\rm g5}$.
Für $A = 0.5$ wird $K_{\rm g3} \approx K_{\rm g5}$ gelten.


Musterlösung

1.  Die sehr ungenaue Näherung g1(x) = x ist linear in x und führt deshalb auch nicht zu nichtlinearen Verzerrungen. Damit ergibt sich der Klirrfaktor K = 0.
2.  Das analytische Spektrum (nur positive Frequenzen) des Eingangssignals lautet:
$$X_+(f) = A \cdot {\rm \delta}(f- f_0) .$$
Am Ausgang der nichtlinearen Kennlinie g3(x) liegt dann folgendes Signal an:
$$y(t) = A \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) - \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}^3(\omega_0 t )= \\ = A \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) - \frac{3}{4} \cdot \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}(\omega_0 t )- \frac{1}{4} \cdot \frac{A^3}{6} \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t ) = \\ = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) + A_3 \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t ).$$
Für die Koeffizienten A1 und A3 erhält man durch Koeffizientenvergleich:
$$A_1 = A - \frac{A^3}{8}, \hspace{0.5cm}A_3 = - \frac{A^3}{24}.$$
Mit A = 0.5 ergibt sich A1 ≈ 0.484 und A3 ≈ 0.005. Somit lautet der Klirrfaktor:
$$K = K_3 = \frac{|A_3|}{A_1}= \frac{0.005}{0.484} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1.08\%}.$$
Anzumerken ist, dass bei der Näherung g3(x) nur der kubische Anteil K3 des Klirrfaktors wirksam ist. Für A = 1 und A = 1.5 ergeben sich folgende Zahlenwerte:
$$A = 1.0: A_1 \approx 0.875, \hspace{0.2cm} A_3 \approx -0.041\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{K \approx 4.76\%},$$
$$A = 1.5: A_1 \approx 1.078, \hspace{0.2cm} A_3 \approx -0.140\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}{K \approx 13 \%}.$$
3.  In ähnlicher Weise wie beim Unterpunkt 2) gilt nun
$$y(t) = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0 t ) + A_3 \cdot {\rm cos}(3\omega_0 t )+ A_5 \cdot {\rm cos}(5\omega_0 t )$$
mit folgenden Koeffizienten:
$$A_1 = A - \frac{A^3}{8} + \frac{A^5}{192},\hspace{0.3cm} A_3 = - \frac{A^3}{24} + \frac{A^5}{384},\hspace{0.3cm} A_5 = \frac{A^5}{1920}.$$
Daraus ergeben sich mit A = 1 die Zahlenwerte:
$$A_1 \approx 1 -0.125 +0.005 = 0.880,\hspace{0.3cm} A_3 \approx -0.042 +0.003 = -0.039,\hspace{0.3cm} A_5 \approx 0.0005$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}K_3 = \frac{|A_3|}{A_1}= 0.0443,\hspace{0.3cm}K_5 = \frac{|A_5|}{A_1}= 0.0006 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \sqrt{K_3^2 + K_5^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.45\%}.$$
4.  Der Ansatz g5(x) ist im gesamten Bereich eine bessere Näherung für die Sinusfunktion g(x) als die Näherung g3(x). Deshalb ist der in der Teilaufgabe c) berechnete Wert Kc eine bessere Näherung für den tatsächlichen Klirrfaktor K als Kb – die erste Aussage ist somit richtig.
Dagegen ist die zweite Aussage falsch, wie schon die Berechnung gezeigt hat Kb = 4.76 % ist größer als Kc = 4.45 %. Der Grund hierfür ist, dass g3(x) unterhalb von g5(x) liegt und damit auch eine größere Abweichung vom linearen Verlauf vorliegt.
Für A = 0.5 wird KcKb gelten. Schon die Kennlinie auf der Angabenseite zeigt, dass für |x| ≤ 0.5 die beiden Funktionen g3(x) und g5(x) innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind. Damit ergeben sich auch gleiche Klirrfaktoren. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3