Exercise 3.2Z: Laplace and Fourier

Die Fourier–Transformation kann für jedes deterministische Signal $x(t)$ angewandt werden. Für die Spektralfunktion gilt dann:

$$X(f) = \int_{-\infty}^{ +\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen: unendlich große Energie – beinhaltet $X(f)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).

Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar: $$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{ \infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:

die Diracfunktion $a(t)$,

die Sprungfunktion $b(t)$,

die Rechteckfunktion $c(t)$,

die Rampenfunktion <$d(t)$.

Die Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace–Transformation, wobei $p = j \cdot 2 \pi f$ zu setzen ist:

Zum Beispiel lautet der Verschiebungssatz in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:

$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{-p \tau}\hspace{0.05cm} ,$$

$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f \tau}\hspace{0.05cm} .$$

Dagegen ergeben sich beim Integrationssatz Unterschiede:

$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$

$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Gegeben sind folgende bestimmte Integrale:

$$\int_{0}^{ \infty} { {\rm e}^{-p x} \cdot \cos(qx)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{p}{p^2 + q^2}\hspace{0.05cm} , \hspace{1.0cm}\int_{0}^{ \infty} { {\rm e}^{-p x} \cdot \sin(qx)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = \frac{q}{p^2 + q^2}\hspace{0.05cm} , $$

$$\int_{0}^{ \infty} { {\rm e}^{-p x} \cdot \frac{\sin(qx)}{x}}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\rm arctan}\hspace{0.15cm}\frac{q}{p}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.6cm} \int_{A}^{ B} { \frac{1}{x}}\hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\rm ln}\hspace{0.15cm}\frac{B}{A}\hspace{0.05cm} .$$

Hinweis: Die Aufgabe behandelt die Thematik von Kapitel 3.2.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei t = 0 ungleich 0 ist und das Integral über den Dirac den Wert 1 liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt t = 0 einschließt, so erhält man:

$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$

Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.

2. Richtig sind wiederum die Lösungsvorschläge 1 und 3. Die Sprungfunktion γ(t) ist das Integral über die Diracfunktion δ(t), so dass man den Integrationssatz anwenden kann:

$$b(t) = \int\limits_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p} = \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,\\ B(f) = A(f)\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$

3. Richtig sind die vorgeschlagenen Alternativen 2 und 3. Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem Verschiebungssatz:

$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{-p T} = \frac{1}{p} \cdot \left [ 1- {\rm e}^{-p T} \right ] \hspace{0.05cm} .$$

Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das Fourierspektrum:

$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \left [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \cdot 2\pi f T} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:

$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f} \hspace{0.05cm}.$$

4. Richtig ist der erste Lösungsvorschlag. Es gilt:

$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p T}}{p^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} .$$

Da sich d(t) bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen D_L(p) und D(f) entsprechend dem Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben. D(f) beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz f = 0.

	B_L(p) = 1/p.
	B(f) = 1/(j · 2πf).
	B(f) = 1/2 · δ(f) – j/(2πf).

	C_L(p) = si(pT).
	C_L(p) = [1 – e^–pT] / p.
	C(f) = C_L(p) mit p = j · 2πf.

	D_L(p) = [1 – e^–pT] / (p²T).
	D_L(p) = 1 – e^–pT.
	D(f) = D_L(p) mit p = j · 2πf.

	A_L(p) = 1.
	A(f) = δ(f).
	A(f) = 1.