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Exercise 4.6: k-parameters and alpha-parameters

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Dämpfungsmaß einer 0.5 mm Doppelader mit k– und α-Parameter

Für symmetrische Kupfer–Doppeladern findet man in [PW95] die folgende empirische Formel, gültig für den Frequenzbereich 0≤f≤30 MHz: αI(f)=k1+k2⋅(f/f0)k3,f0=1MHz. Dagegen ist das Dämpfungsmaß eines Koaxialkabels meist in der folgenden Form angegeben: αII(f)=α0+α1⋅f+α2⋅√f. Insbesondere zur Berechnung von Impulsantwort und Rechteckantwort ist es von Vorteil, auch für die Kupfer–Doppeladern die zweite Darstellungsform mit den Kabelparametern α0, α1 und α2 anstelle der Beschreibung durch k1, k2 und k3 zu wählen. Für die Umrechnung geht man dabei wie folgt vor:

  • Aus obigen Gleichungen ist offensichtlich, dass der die Gleichsignaldämpfung charakterisierende Koeffizient k1=α0 ist.
  • Zur Bestimmung von α1 und α2 wird davon ausgegangen, dass der mittlere quadratische Fehler im Bereich einer vorgegebenen Bandbreite B minimal sein soll:
E[ε2(f)]=∫B0[αII(f)−αI(f)]2df⇒Minimum.
  • Die Differenz ε2(f) und der mittlere quadratische Fehler E[ε2(f)] ergeben sich dabei wie folgt:
ε2(f)=[α1⋅f+α2⋅√f−k2⋅(f/f0)k3]2=α21⋅f2+2α1α2⋅f1.5+α21⋅f+k22⋅f2k3f2k30−2k2α1⋅fk3+1fk30−2k2α2⋅fk3+0.5fk30
⇒E[ε2(f)]=α21⋅B33+45⋅α1α2⋅B2.5+α21⋅B22+k222k3+1⋅B2k3+1f2k30−2k2α1k3+2⋅
Diese Gleichung beinhaltet die zu verrechnenden Kabelparameter α1, α2, k2 und k3 sowie die Bandbreite B, innerhalb derer die Approximation gültig sein soll.
  • Durch Nullsetzen der Ableitungen von E[ε2(f)] nach α1 bzw. α2 erhält man zwei Gleichungen für die bestmöglichen Koeffizienten α1 und α2, die den mittleren quadratischen Fehler minimieren. Diese lassen sich in folgender Form darstellen:
dE[ε2(f)]dα1=0⇒α1+C1⋅α2+C2=0,
dE[ε2(f)]dα2=0⇒α1+D1⋅α2+D2=0.
  • Aus der Gleichung C1⋅α2+C2=D1⋅α2+D2 lässt sich daraus der Koeffizient α2 berechnen und anschließend aus jeder der beiden oberen Gleichungen der Koeffizient α1.

Die Grafik zeigt das Dämpfungsmaß für eine Kupferdoppelader mit 0.5 mm Durchmesser, deren k–Parameter lauten: k1=4.4dB/km,k2=10.8dB/km,k3=0.60.

Die rote Kurve zeigt die damit berechnete Funktion α(f). Für f=30 MHz ergibt sich das Dämpfungsmaß α(f)87.5 dB/km.

Die blaue Kurve gibt die Approximation mit den αndash;Koeffizienten an. Diese ist von der roten Kurve innerhalb der Zeichengenauigkeit fast nicht zu unterscheiden.

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • [PW95] kennzeichnet folgenden Literaturhinweis:
Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum Darmstadt, 1995.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Parameter der Gleichung α1 + C1 · α2 + C2 = 0, die sich aus der Ableitung dE[...]/dα1 ergeben. Welche Ergebnisse sind zutreffend?

C1 = 6/5 · B–0.5,
C1 = 5/4 · B–0.5,
C1 = 4/3 · B2,
C2 = –4/3 · B–2,
C2 = –5/2 · k2/(k3 + 1.5) · Bk3–1 · f0–k3,
C2 = –3 · k2/(k3 + 2) · Bk3–1 · f0–k3.

2

Berechnen Sie die Parameter der Gleichung α1 + D1 · α2 + D2 = 0, die sich aus der Ableitung dE[...]/dα2 ergeben. Welche Ergebnisse sind zutreffend?

D1 = 6/5 · B–0.5,
D1 = 5/4 · B–0.5,
D1 = 4/3 · B2,
D2 = –4/3 · B–2,
D2 = –5/2 · k2/(k3 + 1.5) · Bk3–1 · f0–k3,
D2 = –3 · k2/(k3 + 2) · Bk3–1 · f0–k3.

3

Berechnen Sie die Koeffizienten α1 und α2 für gegebene k2 und k3. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Für k3 = 1 gilt α1 = k2/f0, α2 = 0.
Für k3 = 0.5 gilt α1 = 0, α2 = k2/f00.5.

4

Ermitteln Sie die Koeffizienten für die Approximationsbandbreite B = 30 MHz.

α1 =

dB/(km ⋅ MHz)
α2 =

dB/(km ⋅ MHz0.5)

5

Berechnen Sie mit den α–Parametern das Dämpfungsmaß bei f = 30 MHz.

αII(f=30 MHz) =

dB/km


Musterlösung

Solution

1.  Die Ableitung des angegebenen Erwartungswertes nach α1 ergibt:
dE[ε2(f)]dα1=23⋅B3⋅α1+45⋅B2.5⋅α2−2k2k3+2⋅Bk3+2fk30=0.
Durch Nullsetzen und Division durch 2B2/3 erhält man daraus:
α1+65⋅B−0.5⋅α2−3k2k3+2⋅Bk3−1fk30=0.
⇒C1=65⋅B−0.5,C2=−3k2k3+2⋅Bk3−1fk30.
Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 6.
2.  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe 1) zeigt sich, dass nun die Lösungsvorschläge 2 und 5 richtig sind:
dE[ε2(f)]dα2=45⋅B2.5⋅α1+B2⋅α2−2k2k3+1.5⋅Bk3+1.5fk30=0
⇒α1+54⋅B−0.5⋅α2−2.5⋅k2k3+1.5⋅Bk3−1fk30=0.
⇒D1=54⋅B−0.5,D2=−2.5⋅k2k3+1.5⋅Bk3−1fk30.
3.  Aus C1 · α2 + C2 = D1 · α2 + D2 ergibt sich eine lineare Gleichung für α2. Mit dem Ergebnis aus 2) kann hierfür geschrieben werden:
α2=D2−C2C1−D1=−2.5⋅k2k3+1.5⋅Bk3−1fk30+3k2k3+2⋅Bk3−1fk306/5⋅B−0.5−5/4⋅B−0.5==−2.5⋅k2⋅(k3+2)+3k2⋅(k3+1.5)(6/5−5/4)(k3+1.5)(k3+2)⋅Bk3−0.5fk30==10⋅(B/f0)k3−0.5⋅1−k3(k3+1.5)(k3+2)⋅k2√f0.
Für den Parameter α1 gilt dann:
α1=−C1⋅α2−C2==−65⋅B−0.5⋅10⋅(B/f0)k3−0.5⋅1−k3(k3+1.5)(k3+2)⋅k2√f0+3k2k3+2⋅Bk3−1fk30==(B/f0)k3−1⋅−12⋅(1−k3)+3⋅(k3+1.5)(k3+1.5)(k3+2)⋅k2f0==15⋅(B/f0)k3−1⋅k3−0.5(k3+1.5)(k3+2)⋅k2f0.
Die beiden Lösungsvorschläge sind richtig. Unabhängig von der Bandbreite erhält man für k3 = 1:
α1=(B/f0)k3−1⋅15⋅(k3−0.5)(k3+1.5)(k3+2)⋅k2f0=15⋅0.52.5⋅3⋅k2f0=k2/f0_,α2=(B/f0)k3−0.5⋅10⋅(1−k3)(k3+1.5)(k3+2)⋅k2√f0=0_.
Dagegen ergibt sich für k3 = 0.5:
α1=(B/f0)k3−1⋅15⋅(k3−0.5)(k3+1.5)(k3+2)⋅k2f0=0_,α2=(B/f0)k3−0.5⋅10⋅(1−k3)(k3+1.5)(k3+2)⋅k2√f0=10⋅0.52⋅2.5⋅k2√f0=k2/√f0_.
4.  Für die beiden Koeffizienten gilt mit k2 = 10.8 dB/km, k3 = 0.6 dB/km und B/f0 = 30:
α1=(B/f0)k3−1⋅15⋅(k3−0.5)(k3+1.5)(k3+2)⋅k2f0==30−0.4⋅15⋅0.12.1⋅2.6⋅10.8dB/km1MHz≈0.761dB/(km⋅MHz)_,α2=(B/f0)k3−0.5⋅10⋅(1−k3)(k3+1.5)(k3+2)⋅k2√f0=10⋅0.52⋅2.5⋅k2√f0=k2√f0==300.1⋅10⋅0.42.1⋅2.6⋅10.8dB/km1MHz0.5≈11.1dB/(km⋅MHz0.5)_.
5.  Entsprechend der angegebenen Gleichung αII(f) gilt:
αII(f=30MHz)=α0+α1⋅f+α2⋅√f==[4.4+0.761⋅30+11.1⋅√30]dBkm≈88.1dB/km_.

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