Exercise 1.2: Decimal/Binary Converter

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A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)

Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$. Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block). Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit. Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte $$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$ Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen: $$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\bar{ B} \cap C \cap D$$

Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit X bezeichnet wird: \[ U = A \cap \bar{D} \] \[ V = \bar{A} \cap B \cap \bar{D} \] $$W, wobei \, \bar{W} = \bar{A} \cup \bar{D} \cup (\bar{B} \cap C) \cup (B \cap \bar{C}). $$ Für die folgenden Fragen ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten

Fragebogen zu "A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)"

1

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $U$ zutreffend?

	$U$ beinhaltet 2 Elemente.
	$U$ beinhaltet 4 Elemente.
	Das kleinste Element von $U$ ist 4.
	Das größte Element von $U$ ist 14.

2

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $V$ zutreffend?

	$V$ beinhaltet 2 Elemente.
	$V$ beinhaltet 4 Elemente.
	Das kleinste Element von $V$ ist 4.
	Das größte Element von $V$ ist 14.

3

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $W$ zutreffend?

	$W$ beinhaltet 2 Elemente.
	$W$ beinhaltet 4 Elemente.
	Das kleinste Element von $W$ ist 4.
	Das größte Element von $W$ ist 14.

4

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $P$ zutreffend?

	$P$ beinhlatet alle Zweierpotenzen.
	$P$ beinhaltet alle Primzahlen.
	$P$ beschreibt die leere Menge \(\phi\) .
	$P$ ist identisch mit der Grundmenge $G = {1,2, ... , 15}$.

Musterlösung

Solution

1. Das Ereignis $U$ beinhaltet alle diejenigen Zahlen ≥ 8 (A = 1), die gerade sind (D = 0): 8, 10, 12, 14 ⇒ Richtig sind die Lösungsalternativen 2 und 4.

2. Das Ereignis $V$ besteht aus den beiden Zahlen 4 (binär 0100) und 6 (binär 0110) ⇒ Richtig sind hier die Lösungsalternativen 1 und 3.

3.

Für das Ereignis W gilt mit dem Theorem von de Morgan:

$\bar W = \bar A \cup \bar D \cup (\bar B \cap C) \cup (B \cap \bar C)$.

$ \Rightarrow W = \bar{\bar W} = A \cap D \cap (\overline{\bar B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \bar C})$.

Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:

$ W = A \cap D \cap (B \cup \bar C) \cap (\bar B \cup C)$.

Mit der Boolschen Beziehung (siehe Skizze)

$(B \cup \bar C) \cap (\bar B \cup C) = (B \cap C) \cup (\bar B \cap \bar C)$

erhält man schließlich

$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \bar B \cap \bar C \cap D)$.

Somit beinhaltet W die Zahlen 15 und 9 ⇒ Lösungsvorschlag 1.

4. Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet folgende Zahlen: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15. Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge:

$P \in {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}$.

Dies sind genau die mit 4 Bit darstellbaren Primzahlen ⇒ Lösungsvorschlag 2.