Exercise 1.4Z: Sum of Ternary Quantities

Gegeben seien die ternären Zufallsgrößen

$x ∈ {–2, \ 0, +2}$,

$y ∈ {–1, \ 0, +1}$.

Diese beiden Ternärwerte treten jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Daraus wird als eine neue Zufallsgröße die Summe $s = x + y$ gebildet.

Das nebenstehendes Schema zeigt, dass die Summe $s$ alle ganzzahligen Werte zwischen $–3$ und $+3$ annehmen kann:

$ s \in \{-3, -2, -1, \ 0, +1, +2, +3\}.$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Fragebogen

${\rm Pr}(s>0) \ = $

${\rm Pr}[(x>0) \cap (s>0)] \ =$

${\rm Pr}(x>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}s>0)\ =$

${\rm Pr}(s>0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x>0)\ =$

Musterlösung

Solution

In der nebenstehenden Grafik sind

die drei zum Ereignis $„x > 0“$ gehörenden Felder violett umrandet,
die Felder für $„s > 0“$ gelb hinterlegt.

Alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten können hier mit Hilfe der klassischen Definition ermittelt werden.

(1) Dieses Ereignis ist durch die gelb hinterlegten Felder gekennzeichnet:

$$\rm Pr (\it s > \rm 0) = \rm 4/9 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.444}.$$

(2) Hier gilt folgender Sachverhalt:

$$\rm Pr[(\it x > \rm 0) \cap (\it s>\rm 0) ] = \rm Pr(\it x > \rm 0) =\rm 3/9\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.333}. $$

(3) Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1) und (2) folgt:

$$\rm Pr[(\it x > \rm 0) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} (\it s > \rm 0)] = \frac{{\rm Pr} [(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0)]}{{\rm Pr}(\it s > \rm 0)}= \frac{3/9}{4/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$

(4) Analog zur Teilaufgabe (3) gilt nun:

$$\rm Pr(\it s > \rm 0 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it x > \rm 0)=\frac{Pr[(\it x > \rm 0) \cap (\it s > \rm 0)]}{Pr(\it x >\rm 0)}=\rm \frac{3/9}{3/9}\hspace{0.15cm}\underline {= 1}.$$