Exercise 3.3: Moments for Cosine-square PDF

Wie in Aufgabe A3.1 und Aufgabe A3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von –2 bis +2 beschränkte Zufallsgröße x mit folgender WDF in diesem Abschnitt:

$$f_x(x)=\rm \frac{1}{2}\cdot cos^2({\pi}/{4}\cdot {\it x}).$$

Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße y, die nur Werte zwischen 0 und 2 mit folgender WDF liefert:

$$f_y(y)=\rm sin^2({\pi}/{2}\cdot \it y).$$

Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik abgebildet.

Außerhalb der Bereiche –2 < x < +2 bzw. 0 < y < 2 gilt jeweils f_x(x) = 0 bzw. f_y(y) = 0. Weiter ist anzumerken, dass die beiden Zufallsgrößen als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale x(t) bzw. y(t) aufgefasst werden können.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Inhalt von Kapitel 3.3. Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:

$$\int x^{\rm 2}\cdot {\rm cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2\it x}{\it a^{\rm 2}}\cdot \rm cos(\it ax)+(\frac{\it x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}})\cdot \rm sin(\it ax) .$$

Fragebogen

	m₂ = 0, falls m₁ ≠ 0.
	m₂ = 0, falls m₁ = 0.
	m₁ = 0, falls m₂ = 0.
	m₂ > σ², falls m₁ ≠ 0.
	m₁ = 0, falls f_x(–x) = f_x(x).
	f_x(–x) = f_x(x), falls m₁ = 0.

$m_x$ =

$\sigma_x$ =

	y = 1 + x/2
	y = 2x
	y = x/2–1

$m-y$ =

$\sigma_y$ =

Musterlösung

Solution

1. Unter allen Umständen richtig sind die Aussagen 3, 4 und 5. Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem Satz von Steiner ersichtlich ist. Die zweite Aussage gilt nur in dem einen Sonderfall x = 0. Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF. Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.

2. Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich x = 0 ergibt sich für den linearen Mittelwert m_x = 0.

3. Der Effektivwert des Signals x(t) ist gleich der Streuung σ_x bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz σ_x². Da die Zufallsgröße x den Mittelwert m_x = 0 aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf 1 Ω) bezeichnet. Somit gilt:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\cdot \rm cos^2(\frac{\pi}{\rm 4}\cdot\it x)\it\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Mit der Beziehung cos²(α) = 0.5 · (1 + cos(2α)) folgt daraus:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\it \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}\frac{x^{\rm 2}}{\rm 2}\rm\cdot cos(\frac{\pi}{\rm 2}\cdot\it x)\it \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen (bzw. auf dem Angabenblatt). Man erhält mit a = π/2:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\rm cos}(a \cdot \it x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac[[:Template:\rm 1]]{a^{\rm3}} \right){\rm sin}(a \cdot \it x)\right]_{x=0}^{x=2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$

4. Richtig ist der erstgenannte Vorschlag. Die Variante y = 2x würde eine zwischen -4 und +4 verteilte Zufallsgröße liefern. Beim letzten Vorschlag wäre der Mittelwert m_y = –1.

5. Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass m_y = 1 gilt.

6. Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor 2 wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe c) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:

$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$