Exercise 3.4: Characteristic Function

Gegeben seien hier die drei Zufallsgrößen x, y und z durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

Über die Zufallsgröße x ist nichts weiter bekannt: Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF f_x(x) besitzen. Der Mittelwert ist allgemein gleich m_x.

Die Zufallsgröße y kann nur Werte im Bereich von 1 bis 3 mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen ⇒ Mittelwert m_y = 2.

Die Zufallsgröße z besitzt die folgende charakteristische Funktion:

$$C_z ({\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$

Daneben wird noch der qualitative Verlauf der WDF f_z(z) entsprechend der blauen Skizze als bekannt vorausgesetzt. Zu bestimmen sind die WDF-Parameter a, b und c.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf Kapitel 3.3 - Seite 5.

Die charakteristische Funktion einer zwischen ±a gleichverteilten Zufallsgröße z lautet:

$$C_z ( {\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$

Fragebogen

	C_x(Ω) ist die Fouriertransformierte von f_x(x).
	Der Realteil von C_x(Ω) ist eine gerade Funktion in Ω.
	Der Imaginärteil von C_x(Ω) ist eine ungerade Funktion in Ω.
	Der Wert an der Stelle Ω = 0 ist stets 1.
	Bei mittelwertfreier Zufallsgröße (m_x = 0) ist C_x(Ω) stets reell.

$Re[C_y(\omega\ =\ \pi/2)]$ = -

$Im[C_y(\omega\ =\ \pi/2)]$ = -

$a$ =

$b$ =

$c$ =

Musterlösung

Solution

1. C_x(Ω) ist nicht die Fouriertransformierte zu f_x(x), sondern die Fourierrücktransformierte:

$$C_x( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$

Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für Ω = 0 gilt:

$$C_x( {\it \Omega} = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$

Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße x ∈ {–1; +3} mit den Wahrscheinlichkeiten 0.75 und 0.25 ist zwar mittelwertfrei (m_x = 0), besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4.

2. Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:

$$C_y( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$

Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:

$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega } )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Für Ω = π/2 erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:

$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}} = - \frac{2}{{\rm{\pi }}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm} {\rm Im}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] \hspace{0.15cm}\underline{= 0} .$$

3. Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass si(3Ω) auf eine zwischen ±3 gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und si(2Ω) die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen ±2 angibt. In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF f_z(z) die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:

Die drei WDF-Parameter lauten somit:

$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5}, \quad \hspace{0.15cm}\underline{c = 1/6}.$$