Exercise 3.6: Noisy DC Signal

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Ein Gleichsignal s(t) = 2V wird durch ein Rauschsignal n(t) additiv überlagert. Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals

$$x(t)=s(t)+n(t).$$

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz WDF) des Signals x(t) ist im unteren Bild dargestellt. Die (auf den Widerstand 1 Ω bezogene) Gesamtleistung dieses Signals beträgt P_x = 5 V².

Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral Q(x). Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:

$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.9cm} Q(1) = 0.1587,$$

$$\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.3cm} Q(3) = 0.0013. $$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Lehrstoff von Kapitel 3.5.

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Das Nutzsignal s(t) ist gleichverteilt.
	Das Rauschsignal n(t) ist gaußverteilt.
	Das Rauschsignal n(t) hat einen Mittelwert mn ≠ 0.
	Das Gesamtsignal x(t) ist gaußverteilt mit Mittelwert mx = 2 V.

2

Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals x(t).

$\sigma_x$ = V

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass x(t) kleiner als 0 V ist?

$Pr(x < 0 V)$ = %

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass x(t) größer als 4 V ist?

$Pr(x > 4 V)$ = %

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt x(t) zwischen 3 V und 4 V?

$Pr(3 V < x < 4 V)$ = %

Musterlösung

Solution

1.  Das Gleichsignal s(t) ist natürlich nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei 2 V mit Gewicht 1. Das Signal n(t) ist gaußverteilt und mittelwertfrei. Deshalb ist auch das Summensignal x(t) gaußverteilt, aber nun mit Mittelwert m_x = 2 V. Dieser rührt allein vom Gleichsignal s(t) = 2 V her. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 4.

2.  Nach dem Satz von Steiner gilt:

$$\sigma_{x}^{\rm 2}=m_{\rm 2 \it x}-m_{x}^{\rm 2}. $$

Der quadratische Mittelwert ist gleich der (auf 1 Ω bezogenen) Gesamtleistung P_x = 5 V². Mit dem Mittelwert m_x = 2 V folgt daraus für die Streuung: σ_x = 1 V.

3.  Die Verteilungsfunktion (VTF) einer gaußverteilten Zufallsgröße mit Mittelwert m_x und Streuung σ_x lautet mit dem Gaußschen Fehlerintegral:

$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}).$$

Die Verteilungsfunktion an der Stelle r = 0 V ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass x kleiner oder gleich 0 V ist. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch Pr(x ≤ r) = Pr(x < r). Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:

$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$

4.  Wegen der Symmetrie um den Wert 2V ergibt sich hierfür die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich 2.27%.

5.  Die Wahrscheinlichkeit, dass x(t) größer ist als 3V, ergibt sich zu

$$\rm Pr(\it x > \rm 3\,V) =\rm 1- \it F_x(\frac{\rm 3\,V-2\,V}{\rm 1V})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man daraus:

$$\rm Pr(\rm 3\,V\le \it x \le \rm 4\,V)= \rm Pr(\it x > \rm 3\,V)- \rm Pr(\it x > \rm 4\,V).$$

Dies liefert den Zahlenwert 0.1587 - 0.0227 = 13.6%.