Exercise 3.7: Bit Error Rate (BER)

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Wir betrachten ein binäres Übertragungssystem mit

• der Quellensymbolfolge 〈q_ν〉 und

• der Sinkensymbolfolge 〈υ_ν〉.

Stimmen Sinkensymbol υ_ν und Quellensymbol q_ν nicht überein, so liegt ein Bitfehler (e_ν = 1) vor. Ansonsten gilt e_ν = 0.

Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit (englisch: Bit Error Probability).

Mit dem Erwartungswert E[ ... ] ist diese ist wie folgt definiert:

$$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu})]=\rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$

Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss z. B. bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden. Ist dagegen die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt werden soll), so kann man obige Gleichung wie folgt vereinfachen:

$$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\rm E[\it e_{\nu}].$$

Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat. Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate) übergegangen werden:

$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$

Diese ist eine relative Häufigkeit, wobei n_B die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler angibt, wenn insgesamt N Symbole (Bit) übertragen wurden.

Im Grenzfall N → ∞ stimmt die relative Häufigkeit h_B mit der Wahrscheinlichkeit p_B überein. Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem N gerechnet werden muss.

Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein. Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte p_B = 10⁻³ und N = 10⁵. Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:

$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 3.5.

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Für nB sind alle Werte (0, ... , N) gleichwahrscheinlich.
	Die Zufallsgröße nB ist binomialverteilt.
	Mit pB = 10-3 und N = 105 ergibt sich E[nB] = 100.

2

Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße n_B für p_B = 10^-3 und N = 10⁵?

$\sigma_\text{nB}$ = $*\ 10$

3

Welche Werte kann die Bitfehlerquote h_B annehmen? Zeigen Sie, dass der Mittelwert m_hB gleich der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit p_B ist. Wie groß ist deren Streuung?

$\sigma_\text{hB}$ = $*\ 10^{-4}$

4

Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert (m_hB) und gleicher Streuung (σ_hB) angenähert werden. Welche Aussage ist zutreffend?

	Pr(|hB – pB| ≤ ε) = 1 – 2 · Q(ε/σhB).
	Pr(|hB – pB| ≤ ε) = 1 – Q(2 · ε/σhB).

5

Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau p_ε = Pr(|h_B – p_B| ≤ ε). Welcher Wert ergibt sich für p_ε mit ε = 10^–4, p_B = 10^–3 und N = 10⁵?

$p_\epsilon$ =

6

Das Argument der Q-Funktion sei α. Wie groß muss α mindestens gewählt werden, damit das Konfidenzniveau p_ε = 95% beträgt?

$\alpha$ =

7

Es gelte weiterhin p_B = 10^–3 und p_ε = 95%. Über wie viele Symbole muss man mindestens mitteln, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen 0.9 · 10^–3 und 1.1 · 10^–3 liegt (ε = 10^–4, 10% vom Sollwert)?

$N_\text{min}$ =

Musterlösung

Solution

1.  Die beiden letzten Aussagen stimmen: Bezüglich der Zufallsgröße n_B liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor: Es wird die Summe über N binäre Zufallsgrößen gebildet. Die möglichen Werte von n_B liegen somit zwischen 0 und N. Der lineare Mittelwert ergibt

$$m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$$

2.  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:

$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$

3.  Mögliche Werte von h_B sind alle ganzzahligen Vielfachen von 1/N, die zwischen 0 und 1 liegen. Für den Mittelwert erhält man:

$$m_{h{\rm B}}=m_{\it n_{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$

Die Streuung ergibt sich zu

$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$

4.  Richtig ist der erste Vorschlag. Es gilt:

$$\rm Pr(\it h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q\Big({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}\Big),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon)=\rm Q\Big(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}\Big),$$

$$\Rightarrow \rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q\Big(\frac{\it \varepsilon}{\it \sigma_{h{\rm B}}}\Big).$$

5.  Man erhält mit den Zahlenwerten ε = σ_hB = 10 ^–4:

$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q\Big(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}}\Big)=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

⇒  Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über 10⁵ Symbole, so erhält man mit einem Konfidenzniveau von 68.4% einen Wert zwischen 0.9 · 10^–3 und 1.1 · 10^–3, wenn p_B = 10^–3 ist.

6.  Aus der Beziehung p_ε = 1 – 2 · Q(α) = 0.95 folgt direkt:

$$\alpha=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$

7.  Es muss α = ε/σ_hB gelten. Mit dem Ergebnis aus b) folgt dann:

$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge \rm 2 \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$