Exercise 3.12: Cauchy Distribution

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Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sei wie folgt gegeben  ⇒  Cauchyverteilung:

$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$

Aus der Grafik ist der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.

Hinweis: Die theoretischen Hintergründe zur Aufgabe finden Sie auf der Seite Cauchyverteilung im Kapitel 3.7.

Fragebogen

1

Wie lautet die Verteilungsfunktion F_x(r)? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist x betragsmäßig kleiner als 2?

$Pr (|x| < 2)$ =

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist x betragsmäßig größer als 4?

$Pr (|x| > 4)$ =

3

Welche der nachfolgenden Aussagen treffen für die Cauchyverteilung zu?

	Die Cauchyverteilung besitzt eine unendlich große Varianz.
	Die Tschebyscheff-Ungleichung macht hier keinen Sinn.
	Eine in der Natur messbare Zufallsgröße ist nie cauchyverteilt.

Musterlösung

Solution

1.  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Kapitel 3.7, so erkennt man, dass der Parameter λ = 2 ist. Daraus folgt (nach Integration über die WDF):

$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$

Insbesondere sind

$$F_x ( r = 2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$

$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$

Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit als die Differenz zu 50%.

2.  Nach dem Ergebnis aus (a) ist F_x(4.0) = 0.5 + 1/π = 0.852. Damit gilt für die „komplementäre” Wahrscheinlichkeit Pr(x > 4) = 0.148. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist doppelt so groß:

$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$

3.  Alle Lösungsvorschläge treffen zu. Für die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm} \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$

Für große x liefert der Integrand den konstanten Wert 4. Deshalb divergiert das Integral. Mit <nobr>σ_x → ∞</nobr> liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.

„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten. Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße - wie z. B. der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen - nicht dieser Beschränkung.