Exercise 4.6: Coordinate Rotation

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Wir betrachten in der Aufgabe eine zweidimensionale Gaußsche Zufallsgröße (x, y) mit statistisch unabhängigen Komponenten. Die Streuungen sind σ_x = 1 und σ_y = 2.

Berechnet werden soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweidimensionale Zufallsgröße (x, y) innerhalb des grün schraffiert eingezeichneten Bereichs liegt:

$$-C \le x + y \le C.$$

Führen Sie zur Lösung eine Koordinatentransformation durch:

$$\xi = \hspace{0.4cm} x +y,$$

$$\eta= -x +y .$$

Dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um 45°. Aus x + y = ±C folgt damit ξ = ±C. Die beiden zweidimensionalen Dichtefunktionen lauten dann:

$$f_{xy} (x,y) = \frac{1}{4 \pi} \cdot \exp \left [ - ( x^2 /2 + y^2 /8) \right ] ,$$

$$f_{\xi\eta} (\xi, \eta) = \frac{1}{2 \pi \cdot \sigma_x \cdot \sigma_y \cdot \sqrt{1 - \rho_{\xi\eta}^2}} \cdot \exp \left [ - \frac{1}{2(1 - \rho_{\xi\eta}^2)} \cdot ( \frac {\xi^2}{\sigma_\xi^2} + \frac {\eta^2}{\sigma_\eta^2 }- 2 \rho_{\xi\eta}\cdot \frac {\xi \cdot \eta}{\sigma_\xi \cdot \sigma_\eta}) \right ] .$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 4.2. Gegeben sind die Näherungen Q(2.3) ≈ 0.01 und Q(2.6) ≈ 0.005 für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral.

Nachfolgend gibt es Hyperlinks zu zwei Lernvideos, die diese Thematik behandeln:

Fragebogen

1

Ermitteln Sie durch Koeffizientenvergleich das Verhältnis der beiden Streuungen der neuen Zufallsgröße (ξ, η).

$\sigma_\xi/\sigma_\eta$ =

2

Berechnen Sie die Streuung σ_ξ und den Korrelationskoeffizienten ρ_ξη zwischen den neuen Zufallsgrößen ξ und η.

$\sigma_\xi$ =

$\rho_\text{$\xi\eta$}$ =

3

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das |x + y| ≤ C gilt. Wie groß muss man C wählen, damit 99% aller Größen im schraffierten Bereich liegen?

$C$ =

Musterlösung

Solution

1.  Aus ξ = x + y und η = –x + y folgt direkt:

$$x = \frac{1}{2} ( \xi - \eta ) ,\hspace{1cm}y = \frac{1}{2} ( \xi +\eta ) .$$

Setzt man diese Werte für den negativen Exponenten ein, so erhält man:

$$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{8} = \frac{1}{8} ( \xi - \eta )^2 + \frac{1}{32} ( \xi + \eta )^2.$$

Ausmultipliziert ergibt dies:

$$\frac{5}{32} \cdot \xi^2 + \frac{5}{32} \cdot \eta^2 - \frac{3}{16} \cdot \xi \cdot \eta .$$

Da die Koeffizienten bei ξ² und η² gleich sind, gilt σ_ξ = σ_η. Der gesuchte Quotient ist somit 1.

2.  Durch Koeffizientenvergleich erhält man für σ_ξ = σ_η das Gleichungssystem:

$$2 \cdot \sigma_\xi^2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)= \frac{32}{5},\hspace{0.5cm} \frac{\sigma_\xi^2 \cdot (1 - \rho_{\xi\eta}^2)}{\rho_{\xi\eta}}= \frac{16}{3}.$$

Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, so ergibt sich ρ_ξη = 0.6 und σ_ξ = 5^½ ≈ 2.236.

3.  Nach Koordinatentransformation kann man für diese Wahrscheinlichkeit schreiben:

$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = {\rm Pr} ( | \xi | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Pr} ( \xi >C ).$$

Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral folgt daraus weiter:

$${\rm Pr} ( | x + y | \le C ) = 1 - 2 \cdot {\rm Q} ( \frac{C}{\sigma_\xi}) = 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q} ( \frac{C}{\sigma_\xi}) = 0.005.$$

Mit dem angegebenen Wert Q(2.6) ≈ 0.005 erhält man somit das Ergebnis: C ≈ 2.6 · σ_ξ = 5.814.