Linear Combinations of Random Variables

1. Theory of Stochastic Signals
2. Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
3. Linear Combinations of Random Variables

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Voraussetzungen und Mittelwerte

In diesem Kapitel „ Linearkombinationen von Zufallsgrößen ” gehen wir von den folgenden Annahmen aus:

• Die Zufallsgrößen $u$ und $v$ seien jeweils mittelwertfrei ⇒ $m_u = m_v = 0$ und zudem statistisch unabhängig voneinander ⇒ $ρ_{uv} = 0$.
• Die beiden Zufallsgrößen $u$ und $v$ besitzen jeweils gleiche Streuung $σ$. Über die Art der Verteilung wird keine Aussage getroffen.
• Die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ seien Linearkombinationen von $u$ und $v$, wobei gilt:

$$x=A \cdot u + B \cdot v + C,$$

$$y=D \cdot u + E \cdot v + F.$$

Für die (linearen) Mittelwerte der neuen Zufallsgrößen $x$ und $y$ erhält man nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte:

$$m_x =A \cdot m_u + B \cdot m_v + C =C,$$

$$m_y =D \cdot m_u + E \cdot m_v + F =F.$$

Die Koeffizienten $C$ und $F$ geben somit lediglich die Mittelwerte von $x$ und $y$ an. Beide werden auf den folgenden Seiten stets zu $0$ gesetzt.

Resultierender Korrelationskoeffizient

Betrachten wir nun die Varianzen nach den Linearkombinationen. Für die Zufallsgröße $x$ gilt unabhängig vom Parameter $C$:

$$\sigma _x ^2 = {\rm E}[x ^{\rm 2}] = A^{\rm 2} \cdot {\rm E}[u^{\rm 2}] + B^{\rm 2} \cdot {\rm E}[v^{\rm 2}] + {\rm 2} \cdot A \cdot B \cdot {\rm E}[u \cdot v].$$

Die Erwartungswerte von $u^2$ und $v^2$ sind definitionsgemäß jeweils gleich $σ^2$, weil $u$ und $v$ mittelwertfrei sind. Da $u$ und $v$ zudem als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden, kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben:

$${\rm E}[u \cdot v] = {\rm E}[u] \cdot {\rm E}[v] = m_u \cdot m_v = \rm 0.$$

Damit erhält man für die Varianzen der durch Linearkombinationen gebildeten Zufallsgrößen:

$$\sigma _x ^2 =(A^2 + B^2) \cdot \sigma ^2,$$

$$\sigma _y ^2 =(D^2 + E^2) \cdot \sigma ^2.$$

Die Kovarianz $μ_{xy}$ ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen $x$ und $y$   ⇒   $C = F = 0$ identisch mit dem gemeinsamen Moment $m_{xy}$:

$$\mu_{xy } = m_{xy } = {\rm E}[x \cdot y] = {\rm E}[(A \cdot u + B \cdot v)(D \cdot u + E \cdot v)].$$

Beachten Sie hierbei, dass E[ $\,$ ] einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt. Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:

$$\mu_{xy } = (A \cdot D + B \cdot E) \cdot \sigma^{\rm 2 } \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \rho_{xy } = \frac{\rho_{xy }}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac {A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^{\rm 2}+B^{\rm 2})(D^{\rm 2}+E^{\rm 2})}}.$$

Schließen wir die Sonderfälle $A = B = 0$ (d. h. $x ≡ 0$ ) sowie $D = E = 0$ (d. h. $y ≡ 0$ ) aus, so liefert die Gleichung stets eindeutige Werte für den Korrelationskoeffizienten im Bereich $–1 ≤ ρ_{xy} ≤ +1$.

Beispiele:

(1)  Setzen wir zum Beispiel $A = E = 0$, so ergibt sich der Korrelationskoeffizient $ρ_{xy} = 0$. Dieses Ergebnis ist einsichtig: Nun hängt $x$ nur noch von $v$ und $y$ ausschließlich von $u$ ab. Da aber $u$ und $v$ als statistisch unabhängig angenommen wurden, bestehen keine Beziehungen zwischen $x$ und $y$. – Ebenso ergibt sich $ρ_{xy} = 0$ für $B = D = 0$.

(2)  Die Konstellation $B = E = 0$ 0 führt dazu, dass sowohl $x$ als auch $y$ nur noch von $u$ abhängen. In diesem Fall ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten $ρ_{xy} = ±1$: $$\rho_{xy } = \frac {A \cdot D }{\sqrt{A^{\rm 2}\cdot D^{\rm 2}}} = \frac {A \cdot D }{|A| \cdot |D| } =\pm 1.$$

• Besitzen $A$ und $D$ gleiches Vorzeichen, so ist $ρ_{xy} = +1$.
• Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient $–1$.
• Auch für $A = D = 0$ ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} = ±1$.

Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen

Die Gleichungen der letzten Seite können zur Erzeugung einer zweidimensionalen Zufallsgröße $(x, y)$ mit vorgegebenen Kenngrößen $σ_x$, $σ_y$ und $ρ_{xy}$ genutzt werden.

• Wenn außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen werden, ist einer der vier Koeffizienten $A, B, D$ und $E$ frei wählbar. Im Folgenden wird stets willkürlich $E = 0$ gesetzt.
• Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $v$ jeweils die gleiche Streuung $σ =1$ aufweisen, erhält man:

$$D = \sigma_y, \hspace{0.5cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{0.5cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$

• Bei $σ ≠ 1$ sind diese Werte jeweils noch durch $σ$ zu dividieren.

Beispiele:  Wir gehen stets von mittelwertfreien Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$ aus. Beide besitzen die Varianz $σ^2 = 1$.

(1)  Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =1$, $σ_y = 1.55$ und $ρ_{xy} = –0.8$ eignet sich z. B. der Parametersatz $A = \ –0.8, \; B = 0.6, \; D = 1.55, \; E = 0$, der dem linken Bild zugrundeliegt.

• Die Korrelationsgerade $K(x)$ ist rot dargestellt. Sie verläuft unter einem Winkel von etwa $–50^\circ$.
• Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse, die etwas oberhalb der Korrelationsgeraden liegt.

(2)  Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet: $A = \ –0.625, B = 0.781, D = 1.501, E = \ –0.390$.

• Im statistischen Sinne erält man das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
• Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum rechten Parametersatz.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.4:   Gaußsche 2D-WDF

Zusatzaufgabe 4.4Z:   Höhenlinien der 2D-WDF

Aufgabe 4.5:   2D-Prüfungsauswertung

Aufgabe 4.6:   Koordinatendrehung