Exercise 4.09: Cyclo-Ergodicity

Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz f₀ = 1/T₀ sind.

Beim oben dargestellten Zufallsprozess {x_i(t)} ist die Amplitude die stochastische Komponente, wobei der Zufallsparameter C_i alle Werte zwischen 1V und 2V mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:

$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \rm cos (2 \pi \it f_{\rm 0} t)\}. $$

Beim Prozess {y_i(t)} weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf: x₀ = 2V. Hier variiert die Phase φ_i, die gleichverteilt zwischen 0 und 2π ist:

$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \rm cos (2 \pi \it f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$

Die Eigenschaften zyklostationär und zykloergodisch sagen aus, dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als stationär und ergodisch zu bezeichnen sind, die statistischen Kennwerte aber für Vielfache der Periondauer T₀ jeweils gleich sind. In diesen Fällen sind auch die meisten der Berechnungsregeln, die eigentlich nur für ergodische Prozesse gelten, anwendbar.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 4.4.

Fragebogen

	Der Prozess {x_i(t)} ist stationär.
	Der Prozess {x_i(t)} ist ergodisch.
	Der Prozess {y_i(t)} ist stationär.
	Der Prozess {y_i(t)} ist ergodisch.

$\phi_y(\tau=0)$ =

$V^2$

$\phi_y(\tau=0.25\ .\ T_0)$ =

$V^2$

$\phi_y(\tau=0.25\ .\ T_0)$ = -

$V^2$

	Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
	Alle Mustersignale besitzen einen Effektivwert von 2V.
	Die AKF hat die doppelte Periode wie die Mustersignale.

Musterlösung

Solution

1. Zum Zeitpunkt t = 0 (und allen Vielfachen der Periodendauer T₀) hat jedes Mustersignal x_i(t) einen Wert zwischen 1V und 2V (Mittelwert: 1.5V). Dagegen ist bei t = T₀/4 der Signalwert des gesamten Ensembles identisch 0. Das heißt: Bereits der lineare Mittelwert erfüllt die Bedingung der Stationarität nicht; der Prozess {x_i(t} ist nicht stationär und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.

Dagegen sind beim Prozess {y_i(t} aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten; der Prozess ist stationär. Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend für den gesamten Prozess. Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizität ausgegangen werden. Am Ende der Aufgabe ist zu überprüfen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist. Das heißt: Richtig sind die Lösungsvorschläge 3 und 4.

2. Aufgrund der Ergodizität kann jede Musterfunktion zur AKF-Berechung herangezogen werden. Wir benutzen hier willkürlich die Phase φ_i = 0. Aufgrund der Periodizität genügt die Mitteilung über nur eine Periodendauer T₀. Dann gilt:

$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}\rm d \it t = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{\it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (2 \pi \it{f_{\rm 0} t}) \cdot \rm cos (2 \pi \it{f_{\rm 0} (t+\tau)}) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$

Mit der trigonometrischen Beziehung

$$\rm cos (\it \alpha) \cdot \rm cos (\it \beta)= \rm \frac{1}{2} \cdot \rm cos (\it \alpha + \beta) + \rm \frac{1}{2} \cdot \rm cos (\it \alpha - \beta)$$

folgt daraus weiter:

$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}) \hspace{0.1cm}\rm d \it t + \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}) \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$

Das erste Integral ist 0 (Integration über zwei Perioden der Cosinusfunktion), der zweite Integrand ist unabhängig von der Integrationsvariablen t. Daraus folgt:

$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{\rm 2} \cdot \rm cos (2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}). $$

Für die angegebenen Zeitpunkte gilt mit x₀ = 2V:

$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2V^2}; \hspace{0.1cm} \it \varphi_y (\rm 0.25 \cdot{\it T}_{\rm 0} )\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}; \hspace{0.1cm} \it \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} ) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2V^2}.$$

3. Der Mittelwert m_y kann aus dem Grenzwert der AKF für τ → ∞ ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschließt. Daraus folgt m_y = 0.

Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF-Wert an der Stelle τ = 0, also 2 V². Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: σ_y ≈ 1.414 V.

Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das heißt, auch die Periodendauer der AKF beträgt T₀. Richtig ist also nur der erste Lösungsvorschlag.