Exercise 4.10: Binary and Quaternary

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Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:

• Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
• Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
• Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
• Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:

$${\rm Pr}(b(t) = +b_0) = {\rm Pr}(b(t) = -b_0) ={1}/{2}.$$

• Dagegen gelte für das Quarternärsignal:

$${\rm Pr}(q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {1}/{6},$$

$${\rm Pr}(q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {2}/{6}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Berechnen Sie den AKF-Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.

$\varphi_x(\tau = 0) \ =$ $\ \rm V^2$

2

Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $|\tau| > =T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.

$\varphi_x(\tau = T) \ =$ $\ \rm V^2$

3

Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF?

$b_0\ =$ $\ \rm V$

4

Welche der folgenden Beschreibungsgrößen eines stochastischen Prozesses lassen sich aus der AKF ermitteln?

	Periodendauer.
	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
	Linearer Mittelwert.
	Varianz.
	Moment 3. Ordnung.
	Phasenbeziehungen.

Musterlösung

Solution

a)  Der AKF-Wert an der Stelle τ = 0 entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von q(t). Für diesen gilt:

$$\varphi_q(\tau = \rm 0)= \rm \frac{1}{6 } (\rm 3\,V)^2 + \rm \frac{2}{6 } (\rm 1\,V)^2 + \rm \frac{2}{6 } (\rm -1\,V)^2 + \rm \frac{1}{6 } (\rm -3\,V)^2= \rm \frac{22}{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$

2.  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von ν:

$$\rm E \left [ \it q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = \rm E \left [ \it q(t) \right ] \cdot E \left [ \it q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich -T ≤ τ ≤ T ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.

3. Die AKF φ_b(τ) des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich |τ| > T ebenfalls identisch 0, und für -T ≤ τ ≤ T ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.

Für den quadratischen Mittelwert erhält man:

$$\varphi_b (\tau = \rm 0) =\it b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$

Mit b₀ = 1.915V sind die beiden Autokorrelationsfunktionen φ_q(τ) und φ_b(τ) identisch.

4. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich ermitteln:

• die Periodendauer T₀ (diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich),

• der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für τ → ∞), und

• die Varianz (Differenz der AKF-Werte von τ = 0 und τ → ∞).

Nicht ermittelt werden können:

• die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (siehe Punkt b und c),

• die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie

• alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.

Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.