Power-Spectral Density

1. Theory of Stochastic Signals
2. Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
3. Power-Spectral Density

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Theorem von Wiener-Chintchine

Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse. Wie im letzten Kapitel gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:

• Jede einzelne Musterfunktion $x_i(t)$ ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$. Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
• Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz $τ = t_2 – t_1$ ab:

$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$

Diese Funktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses $\{x_i(t)\}$ im Zeitbereich. Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die spektrale Leistungsdichte, häufig auch als „Leistungsdichtespektrum” bezeichnet.

:  Das Leistungsdichtespektrum (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF):

$${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\pi} f \tau} {\rm d} \tau. $$ Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von Wiener und Chintchine.

Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite Fourierrücktransformation im Buches „Signaldarstellung”):

$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x \cdot {\rm e}^{{\rm j\pi} f \tau} {\rm d} f.$$

Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet. Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente vorgehen.

Physikalische Interpretation und Messung

Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums $Φ_x(f)$.

Hierzu ist folgendes anzumerken:

• Das Zufallssignal $x(t)$ wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz $f$ und Bandbreite $Δf$ gegeben, wobei $Δf$ entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.
• Das entsprechende Ausgangssignal $x_f(t)$ wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer $T_{\rm M}$ gebildet. Damit erhält man die Leistung von $x_f(t)$ bzw. die Leistungsanteile von $x(t)$ im Spektralbereich von $f – Δf/2$ bis $f + Δf/2$:

$$P_{xf} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f(t)^2 \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$

• Die Division durch $Δf$ führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte:

$${\Phi_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{xf}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.} \hspace {0.5cm} \Phi_{x}(f) = \frac{P_{xf}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$

Hierbei bezeichnet $Φ_{x+}(f) = 2 · Φ_x(f)$ das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS. Für negative Frequenzen ist $Φ_{x+}(f) =$ 0. Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: $Φ_x(–f) = Φ_x(f)$.

• Während die Leistung $P_{xf}$ mit kleiner werdender Bandbreite $Δf$ gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von $Δf$ nahezu konstant.
• Für die exakte Bestimmung von $Φ_x(f)$ sind zwei Grenzübergänge notwendig:

$${\Phi_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das LDS stets reell ist und nie negativ werden kann. Die gesamte Signalleistung von $x(t)$ erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile: $$P_x = \int^{\infty}_{0}\Phi_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}\Phi_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite (1)

Alle Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation, hergeleitet im Kapitel 3.2 des Buches „Signaldarstellung” für deterministische Signale, können auch auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden. Aufgrund der spezifischen Eigenschaften von AKF (stets reell und gerade) und LDS (stets reell, gerade und nicht-negativ) liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.

Wir betrachten nun wie im Abschnitt Interpretation der Autokorrelationsfunktion im Kapitel 4.4 zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse { $x_i(t)$} und { $y_i(t)$} anhand

• der beiden Mustersignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ ⇒ obere Skizze,
• der beiden Autokorrelationsfunktionen $φ_x(τ)$ bzw. $φ_y(τ)$ ⇒ mittlere Skizze,
• der beiden Leistungsdichtespektren $Φ_x(f)$ bzw. $Φ_y(f)$ ⇒ untere Skizze.

Die Interpretation dieser Grafiken erfolgt im nächsten Abschnitt.

Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite (2)

Anhand der zuletzt gezeigten Grafiken sind folgende Aussagen möglich:

• Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich ⇒ die Prozesse besitzen gleiche Leistung:

$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{\Phi_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\Phi_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

• Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite gilt hier ebenfalls: Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.
• Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ (man spricht Nabla-f), ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer $∇τ$ in Kapitel 4.4:

$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{\Phi_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\Phi_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$

• Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:

$${{\rm \nabla} \tau_x} \cdot {{\rm \nabla} f_x} = 1\hspace{1cm}{\rm bzw.}\hspace{1cm} {{\rm \nabla} \tau_y} \cdot {{\rm \nabla} f_y} = 1.$$

Wir gehen wieder von der zuletzt gezeigten Grafik aus:

• Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals $x(t)$ sind $∇τ_x =$ 0.33 μs und $∇f_x =$ 3 MHz.
• Die äquivalente AKF-Dauer des Signals $y(t)$ ist dreimal so groß: $∇τ_y =$ 1 μs.
• Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr $∇f_y = ∇f_x/3 =$ 1 MHz.

Beweis: Entsprechend den obigen Definitionen gilt: $${{\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ \varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau = \frac {\Phi_x(f = {\rm 0)}}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)},$$ $${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ \Phi_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\Phi_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)}}{\Phi_x(f = \rm 0)}.$$ ⇒ Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer und äquivalenter LDS-Bandbreite ist gleich 1.

Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte Weiße Rauschen dar. Dieses beinhaltet alle Spektralanteile (bis ins Unendliche) und die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ ist unendlich groß. Das hier angegebene Gesetz besagt dann, dass damit für die äquivalente AKF-Dauer $∇τ =$ 0 gelten muss; die AKF des weißen Rauschens ist diracförmig.

Mehr zu dieser Thematik finden Sie in den nachfolgenden Lernvideos, insbesondere im Teil 2:

Der AWGN-Kanal – Teil 1 (Dauer 6:00) Der AWGN-Kanal – Teil 2 (Dauer 5:15) Der AWGN-Kanal – Teil 3 (Dauer 6:15)

Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente

Wir gehen zunächst von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess { $x_i(t)$} aus. Weiterhin setzen wir voraus, dass der Prozess keinen Gleichanteil und keine periodischen Anteile beinhaltet. Dann gilt:

• Die Autokorrelationsfunktion (AKF) $φ_x(τ)$ verschwindet für $τ → ∞$.
• Das Leistungsdichtespektrum (LDS) $Φ_x(f)$ – berechenbar als die Fouriertransformierte von $φ_x(τ)$ – ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich und weist keine diskreten Anteile auf.

Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess { $y_i(t)$}, der sich vom Prozess { $x_i(t)$} lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente unterscheidet: $$\left\{ y_i (t) \right\} = \left\{ x_i (t) + m_y \right\}.$$

Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses { $y_i(t)$} weisen dann folgende Eigenschaften auf:

• Der Grenzwert der Autokorrelationsfunktion für $τ → ∞$ ist nun nicht mehr Null, sondern $m_y^2$. Im gesamten $τ$-Bereich von $–∞$ bis $+∞$ ist die AKF $φ_y(τ)$ um $m_y^2$ größer als $φ_x(τ)$:

$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$

• Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im Leistungsdichtespektrum zu einer Diracfunktion $δ(f)$ mit dem Gewicht $m_y^2$:

$${\Phi_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2 \cdot \delta (f). $$

Nähere Informationen zur Diracfunktion sind im Kapitel 2.2 des Buches „Signaldarstellung” zu finden. Weiterhin möchten wir Sie auf das folgende Lernvideo hinweisen:

Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion (Dauer: 2:50)

Numerische LDS-Ermittlung

Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die Fouriertransformation streng miteinander verknüpft. Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung, also für $${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} = \varphi_x ( \tau ) \cdot \sum_{k= - \infty}^{\infty} T_{\rm A} \cdot \delta ( \tau - k \cdot T_{\rm A}).$$

Der Übergang vom Zeit- in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:

• Der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite $B_x$ (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses) über das Abtasttheorem festgelegt:

$$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$

• Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ergibt ein mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodisches LDS:

$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{\Phi_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {\Phi_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$

• Da sowohl $φ_x(τ)$ als auch $Φ_x(f)$ gerade und reelle Funktionen sind, gilt der Zusammenhang:

$${\rm P} \{{\Phi_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$

• Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus P{ $Φ_x(f)$} durch Bandbegrenzung auf den Frequenzbereich $|f| ≤ 1/(2T_{\rm A})$.
• Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der si-Funktion, wobei ${\rm si}(x)$ für $\sin(x)/x$ steht.

Eine gaußförmige AKF $φ_x(τ)$ wird im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastet; das Abtasttheorem ist erfüllt. Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF A{ $φ_x(τ)$} wird mit P{ $Φ_x(f)$} bezeichnet. Dieses ist periodisch mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ und dementsprechend unendlich weit ausgedehnt. In der Grafik ist P{ $Φ_x(f)$} als roter Kurvenzug zu erkennen.

Das LDS $Φ_x(f)$ des zeitkontinuierlichen Prozesses { $x(t)$} erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich $|f · T_{\rm A}|$ ≤ 0.5.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung (1)

Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:

• Die zeitdiskrete AKF $φ_x(k · T_{\rm A})$ wurde aus $N$ Abtastwerten numerisch ermittelt. Wie bereits auf der Seite Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn $N$ nicht hinreichend groß gewählt wurde.
• Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte $φ_x(0), ... , φ_x(K · T_{\rm A})$:

$${\rm P} \{{\Phi_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$

Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter $K$ bestimmt:

• Ist $K$ zu klein gewählt, so werden die AKF-Werte $φ_x(k · T_{\rm A})$ mit $k > K$ nicht berücksichtigt.
• Ist $K$ zu groß gewählt, so werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur durch die numerische AKF-Berechnung endliche Werte besitzen.
• Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines $N$ bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern.

Diese Aussagen werden nachfolgend anhand eines Beispiels verdeutlicht.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung (2)

Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten, so dass nur der AKF–Wert $φ_x(0) = σ_x^2$ von 0 verschieden ist. Ermittelt man die AKF numerisch aus lediglich $N =$ 1000 Abtastwerten, so erhält man auch für $k$ ≠ 0 endliche AKF–Werte. Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften Werte bis zu 6% des Maximalwertes betragen können.

Unten ist das numerisch ermittelte LDS dargestellt. Die gelbe Kurve zeigt den theoretischen Verlauf, der im Bereich $|f · T_{\rm A}|$ ≤ 0.5 konstant sein sollte. Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch $K =$ 3 bzw. $K =$ 10 das Ergebnis gegenüber $K =$ 0 verfälscht wird.

In diesem Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$. Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$. Wird dieser zu klein gewählt, so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt. Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen, die nur auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.