Exercise 4.15Z: Statements of the Covariance Matrix

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Gegeben seien die beiden Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$, jeweils mittelwertfrei und mit Varianz $\sigma^2 = 1$. Daraus werden durch Linearkombination drei neue Zufallsgrößen gebildet:

$$x_1 = A_1 \cdot u + B_1 \cdot v,$$

$$x_2 = A_2 \cdot u + B_2 \cdot v,$$

$$x_3 = A_3 \cdot u + B_3 \cdot v.$$

Vorausgesetzt wird, dass in allen betrachteten Fällen $(i = 1, 2, 3)$ gilt:

$$A_i^2 + B_i^2 =1.$$

In der Grafik sehen Sie drei Signalverläufe $x_1(t)$, $x_2(t)$ und $x_3(t)$ entsprechend den Parametern

• $A_1 = B_2 = 1$,
• $B_1 = A_2 = $,
• $A_3 = 0.8, \hspace{0.5cm} BA_3 = 0.6$,

Dieser Parametersatz wird für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt.

Der Korrelationskoeffizient $\rho_{ij}$ zwischen den Zufallsgrößen $x_i$ und $x_j$ wird wie folgt angegeben:

$$\rho_{ij} = \frac{A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j}{\sqrt{(A_i^2 + B_i^2)(A_j^2 + B_j^2)}} = A_i \cdot A_j + B_i \cdot B_j.$$

Unter der hier implizit getroffenen Annahme $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1$ lautet die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$, die bei mittelwertfreien Zufallsgrößen identisch mit der Korrelationsmatrix $\mathbf{R}$ ist:

$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \rho_{12} & \rho_{13} \\ \rho_{12} & 1 & \rho_{23} \\ \rho_{13} & \rho_{23} & 1 \end{array} \right] .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen.
• Einige Grundlagen zur Anwendung von Vektoren und Matrizen finden sich auf den Seiten Determinante einer Matrix sowie Inverse einer Matrix
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend? Begründung.

	K kann geeigneter Wahl von A1, ... , B3 eine Diagonalmatrix sein. Oder anders ausgedrückt: ρ12 = ρ13 = ρ23 = 0 ist möglich.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter A1, ... , B3 kann genau einer der Korrelationskoeffizienten ρij gleich 0 sein.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter A1, ... , B3 können genau zwei der Korrelationskoeffizienten ρij gleich 0 sein.
	Bei geeigneter Wahl der Parameter A1, ... , B3 können alle drei Korrelationskoeffizienten ρij ungleich 0 sein.

2

Wie lauten die Matrixelemente mit A₁ = A₂ = –A₃ und B₁ = B₂ = –B₃?

$\rho_\text{12}$ =

$\rho_\text{13}$ = -

$\rho_\text{23}$ = -

3

Berechnen Sie die Koeffizienten ρ_ij für den in der Grafik dargestellten Fall, also für    A₁ = 1, B ₁ = 0; A₂ = 0, B₂ = 1; A₃ = 0.8, B₃ = 0.6.

$\rho_\text{12}$ =

$\rho_\text{13}$ =

$\rho_\text{23}$ =

Musterlösung

Solution

1.  Die zweite und die letzte Aussage treffen zu. Aussage 2 beschreibt den in der Grafik betrachteten Fall, dass zwei Größen (hier: x₁ und x₂) unkorreliert sind, während x₃ statistische Bindungen bezüglich x₁ (über die Größe u) und auch in Bezug zu x₂ (bedingt durch die Zufallsgröße v) aufweist.

Die Kombination ρ₁₂ = ρ₁₃ = ρ₂₃ = 0 ist bei der hier gegebenen Struktur dagegen nicht möglich. Dazu würde man eine dritte statistisch unabhängige Zufallsgröße w benötigen und es müsste beispielsweise x₁ = u, x₂ = υ und x₃ = w gelten.

Die dritte Aussage ist ebenfalls nicht zutreffend: Sind x₁ und x₂ unkorreliert und gleichzeitig auch x₁ und x₃, so können auch zwischen x₂ und x₃ keine statistischen Bindungen bestehen.

Im Allgemeinen werden allerdings sowohl ρ₁₂ als auch ρ₁₃ und ρ₂₃ von 0 verschieden sein. Ein ganz einfaches Beispiel hierfür wird in der Teilaufgabe 2) betrachtet.

2.  In diesem Fall sind die Größen x₁ = x₂ vollständig (zu 100%) korreliert. Mit A₂ = A₁ und B₂ = B₁ erhält man für den gemeinsamen Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{12} = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = A_1^2 + B_1^2 \hspace{0.15cm}\underline{=1}.$$

In gleicher Weise gilt mit A₃ = –A₁ und B₃ = –B₁:

$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = -(A_1^2 + B_1^2) \hspace{0.15cm}\underline{=-1 \hspace{0.1cm}(= \rho_{23})}.$$

3.  Mit diesem Parametersatz ist x₁ identisch mit der Zufallsgröße u, während x₂ = υ gilt. Da u und υ statistisch voneinander unabhängig sind, ergibt sich ρ₁₂ = 0. Demgegenüber gilt für die beiden weiteren Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{13} = A_1 \cdot A_3 + B_1 \cdot B_3 = 1 \cdot 0.8 + 0 \cdot 0.6 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}.$$

Für ein (sehr gut) geschultes Auge ist aus der Grafik auf der Angabenseite zu erkennen, dass das Signal x₃(t) mehr Ähnlichkeiten mit x₁(t) aufweist als mit x₂(t). Diese Tatsache drücken auch die berechneten Korrelationskoeffizienten aus.