Exercise 3.11Z: Extremely Asymmetrical Channel
Betrachtet wird der nebenstehend gezeichnete Kanal mit den folgenden Eigenschaften:
- Das Symbol $X = 0$ wird immer richtig übertragen und führt stets zum Ergebnis $Y = 0$.
- Das Symbol $X = 1$ wird maximal verfälscht. Aus Sicht der Informationstheorie bedeutet dies:
- $${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = 0\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 1) ={\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = 1\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 1) = 0.5 \hspace{0.05cm}$$
Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe:
- die Transinformation $I(X; Y)$ für $P_X(0) = p_0 = 0.4$ und $P_X(1) = p_1 = 0.6$. Es gilt allgemein:
- $$ I(X;Y) = H(X) - H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y)\hspace{0.05cm}=H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm} =\hspace{-0.15cm} H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm}$$
- die Kanalkapazität:
$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Anwendung auf die Digitalsignalübertragung.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Kanalkapazität eines Binärkanals.
- In der Aufgabe 3.14 sollen die hier gefundenen Ergebnisse im Vergleich zum BSC–Kanal interpretiert werden.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
4.Eine (mögliche) Gleichung zur Berechnung der Transinformation lautet: $$ I(X;Y) = H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm}$$ Daraus erhält man mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (a), (b) und (c): $$I(X;Y) = H_{\rm bin}(p_0) + H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) - H_{\rm bin}(p_0) -1 + p_0 = H_{\rm bin}(\frac{1+p_0}{2}) -1 + p_0$$ $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 = 0.4 {\rm :}\hspace{0.5cm} I(X;Y) = H_{\rm bin}(0.7) - 0.6 = 0.881 - 0.6 \hspace{0.15cm} \underline {=0.281\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}$$ 5 Die Kanalkapazität $C$ ist die Transinformation $I(X; Y) $bei bestmöglichen Wahrscheinlichkeiten $p_0$ und $p_1$ der Quellensymbole. Nach Differentiation erhält man die Bestimmungsgleichung: $$\frac{d}{d_{p_0}} I(X;Y) = \frac{d}{d_{p_0}} H_{bin}(\frac{1+p_0}{2} +1\stackrel{!}{=} 0.$$ Mit dem Differentialquotienten der binären Entropiefunktion $$ \frac{d}{d_p}H_{bin} = log_2 \frac{1-p}{p}, $$ und entsprechendes Nachdifferenzieren erhält man : $$\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{(1-p_0)/2}{1- (1-p_0)/2} +1 \stackrel{!}{=} 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{(1-p_0)/2}{(1+p_0)/2} +1 \stackrel{!}{=} 0$$ $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{1+p_0}{1-p_0} \stackrel{!}{=} 4 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_0 \hspace{0.15cm} \underline {=0.6}\hspace{0.05cm}$$ 6. Für die Kanalkapazität gilt dementsprechend: $$C = I(X;Y) \big |_{p_0 \hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm} 0.6} = H_{\rm bin}(0.8) - 0.4 = 0.722 -0.4 \hspace{0.15cm} \underline {=0.322\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}$$ In Aufgabe A3.13 wird dieses Ergebnis im Vergleich zum BSC–Kanalmodell interpretiert. 7. Für die Äquivokation gilt: $$ H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm}Y) = H(X) - I(X;Y) = 0.971 -0.322 \hspace{0.15cm} \underline {=0.649\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}$$ Wegen $H_{bin}(0.4) = H_{bin}(0.6)$ ergibt sich die gleiche Quellenentropie $H(X)$ wie in Teilaufgabe (a). Die Sinkenentropie muss neu berechnet werden. Mit $p_0 = 0.6$ erhält man $H(Y) = H_{bin}(0.8) = 0.722 bit$, und damit ergibt sich für die Irrelevanz: $$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H(Y) - I(X;Y) = 0.722 -0.322 \hspace{0.15cm} \underline {=0.400\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}$$
