Exercise 4.7: Several Parallel Gaussian Channels

Einige häufig verwendete Signalraumkonstellationen

Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals ⇒ $Y = X + N$ wurde im Theorieteil wie folgt angegeben (mit Zusatz–Einheit „bit”):

$$C_{\rm AWGN}(P_X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:

$P_X$ ist die Sendeleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $X$,
$P_N$ ist die Störleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $N$.

Werden $K$ identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:

$$C_K(P_X) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass

in jedem Kanal die gleiche Störleistung $P_N$ vorliegt,
somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung erhält,
die Gesamtleistung genau wie im Fall $K = 1$ gleich $P_X$ ist.

In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:

Amplitude Shift Keying (ASK),
Binary Phase Shift Keying (BPSK),
Quadratur-Amplitudenmodulation (hier: 4-QAM),
Phase Shift Keying (hier: 8–PSK für GSM Evolution),
Kombinierte ASK/PSK-Modulation (hier: 16-ASK/PSK).

Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher $K$–Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log₂” verwendet.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zu Kapitel 4.2.

Fragebogen

$ASK: K$ =

$BPSK: K$ =

$4-QAM: K$ =

$8-PSK: K $ =

$16-ASK/PSK: K $ =

	C_K = K/2 · log₂ [1 + P_X/P_N].
	C_K = K/2 · log₂ [1 + P_X/(K · P_N)].
	C_K = 1/2 · log₂ [1 + P_X/P_N)].

$PX/PN = 15, K = 1: CK$ =

$K = 2: CK$ =

$K = 4: CK$ =

	Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für K = 2.
	Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für K = 4.
	Nein: Je größer K, desto größer ist die Kanalkapazität.
	Der Grenzwert für K → ∞ (in bit) ist C_K = P_X/P_N/2/ln(2).

Musterlösung

Solution

a) Der Parameter K ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:

Für ASK und BPSK ist K = 1.
Für die Konstellationen 3 – 5 gilt K = 2 (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).

b) Für jeden der Kanäle (1 ≤ k ≤ K) beträgt die Kanalkapazität C_k = 1/2 · log₂ (1 + (P_X/k)/P_N). Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor K größer ⇒ Lösungsvorschlag 2: $$C_K(P_X) = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$ Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf K · P_X gelten. Der Vorschlag 3 würde dagegen bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.

c) Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse für K = 1, K = 2 und K = 4 und verschiedene Signal–zu–Störleistungsverhältnisse P_X/P_N.

Für P_X/P_N = 15 (markierte Spalte) ergibt sich:

K = 1: C_K = 1/2 · log₂ (16) = 2.000 bit,
K = 2: C_K = 1 · log₂ (8.5) = 3.087 bit,
K = 4: C_K = 2 · log₂ (4.75) = 4.496 bit.

d) Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss. Richtig sind vielmehr die Lösungsvorschläge 3 und 4, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:

Wir schreiben die Kanalkapazität mit „ln” und der Abkürzung ξ = P_X/P_N:

$$C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{\xi}{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Für große K–Werte, also für kleine Werte von ε = ξ/K gilt dann:

$${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )= \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ... \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot \left [ \frac{\xi}{K} - \frac{\xi^2}{2K^2} + \frac{\xi^3}{3K^3} - ... \right ]$$ $$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm bit}(\xi, K) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ 1 - \frac{\xi}{2K} + \frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} + \frac{\xi^4}{5K^4} - ... \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Für K → ∞ ergibt sich der vorgeschlagene Wert:

$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} = \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$

Für kleinere Werte von K ergibt sich stets ein kleinerer C–Wert, da

$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm usw.}$$ Die letzte Zeile der Tabelle zur Teilaufgabe (c) zeigt, dass man für große ξ–Werte mit K = 4 noch weit vom theoretischen Maximum (für K → ∞) entfernt ist.