Exercise 4.7Z: About the Water Filling Algorithm

Wir betrachten K parallele Gaußsche Kanäle (AWGN) mit unterschiedlichen Störleistungen σ_k² (1 ≤ k ≤ K), wie in der nebenstehenden Grafik am Beispiel K = 4 verdeutlicht ist. Die Sendeleistung in den einzelnen Kanälen wird mit P_k bezeichnet, deren Summe den vorgegebenen Wert P_X nicht überschreiten darf: $$P_1 + ... \hspace{0.05cm}+ P_K = \hspace{0.1cm} \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}{\rm E} \left [ X_k^2\right ] \le P_{X} \hspace{0.05cm}.$$ Sind die Zufallsgrößen X₁, ..., X_k gaußisch, so kann für die (gesamte) Transinformation zwischen dem Eingang X und dem Ausgang Y geschrieben werden: $$I(X_1, ... \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, ... \hspace{0.05cm}, Y_K) = 1/2 \cdot \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_k}{\sigma_k^2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} {\rm Ergebnis\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm} bit} \hspace{0.05cm}.$$ Das Maximum hierfür ist die Kanalkapazität des Gesamtsystems, wobei sich die Maximierung auf die Aufteilung der Gesamtleistung P_X auf die einzelnen Kanäle bezieht. $$C_K(P_X) = \max_{P_k\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}P_1 + ... \hspace{0.05cm}+ P_K = P_X} \hspace{-0.5cm} I(X_1, ... \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, ... \hspace{0.05cm}, Y_K) \hspace{0.05cm}.$$ Diese Maximierung kann mit dem Water–Filling–Algorithmus geschehen, der in obiger Grafik für K = 4 dargestellt ist. Eine genaue Beschreibung finden Sie im Theorieteil In der vorliegenden Aufgabe soll dieser Algorithmus angewendet werden, wobei von folgenden Voraussetzungen auszugehen ist:

Zwei parallele Gaußkanäle ⇒ K = 2,
Normierte Störleistungen σ₁² = 1 und σ₂² = 4,
Normierte Sendeleistungen P_X = 10 bzw. P_X = 3.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Themengebiet von Kapitel 4.2.

Fragebogen

	Einem stark gestörten Kanal k (mit großer Störleistung σ_k²) sollte eine große Nutzleistung P_k zugewiesen werden.
	Einem stark gestörten Kanal k (mit großer Störleistung σ_k²) sollte nur eine kleine Nutzleistung P_k zugewiesen werden.
	Bei K gleich guten Kanälen ⇒ σ₁² = ... = σ_K² = σ_N² sollte die Leistung gleichmäßig verteilt werden.

$P1 = P2 = 5: I$ =

$PX = 10: P1$ =

$P1 = P2 = 5: I$ =

$C2(PX = 10)$ =

$P1 = P2 = 1.5: I$ =

$C2(PX = 3)$ =

Musterlösung

Solution

1. Nach den Ausführungen im im Theorieteil ist die Strategie „Water–Filling” ⇒ Vorschlag 2 anzuwenden, wenn ungleiche Bedingungen vorliegen. Lösungsvorschlag 3 ist aber ebenfalls richtig: Bei gleich guten Kanälen spricht nichts dagegen, alle K Kanäle mit der gleichen Leistung P₁ = ... = P_K = P_X/K zu versorgen.

2. Für die Transinformation gilt bei gleicher Leistungsaufteilung: $$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, Y_2) \ = \ \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{1} \right ) +\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{4} \right )=\\$$$$\hspace{-0.15cm} 1.292\,{\rm bit}+ 0.585\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.877\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$

3. Entsprechend nebenstehender Skizze muss gelten:

$$P_2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} P_1 - (\sigma_2^2 - \sigma_1^2) = P_1 -3\hspace{0.05cm},$$$$P_1 + P_2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} P_X = 10$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_1 + (P_1 -3) = 10 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot P_1 = 13$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{P_1 = 6.5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\underline{P_2 = 3.5}\hspace{0.05cm}.$$ 4. Die Kanalkapazität gibt die maximale Transinformation an. Das Maximum liegt durch die bestmögliche Leistungsaufteilung gemäß der Teilaufgabe (c) bereits fest. Es gilt P_X = 10: $$C_2\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{6.5}{1} \right ) +\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3.5}{4} \right )=\\ = \hspace{-0.15cm} 1.453\,{\rm bit}+ 0.453\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.906\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}$$.

5. Für P_X = 3 erhält man bei gleicher Leistungsaufteilung (P₁ = P₂ = 1.5): $$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, Y_2) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{1.5}{1} \right ) +\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{1.5}{4} \right )=\\ = \hspace{-0.15cm} 0661\,{\rm bit}+ 0.230\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.891\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend dem Water–Filling–Algorithmus wird die gesamte zur Verfügung stehende Sendeleistung P_X = 3 nun dem ersten Kanal zugewiesen: $${P_1 = 3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{P_2 = 0}\hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für die Kanalkapazität: $$C_2 \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3}{1} \right ) +\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{0}{4} \right )=\\ = \hspace{-0.15cm} 1\,{\rm bit}+ 0\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 1\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$ Während für P_X = 10 die Differenz zwischen gleichmäßiger und bester Leistungsaufteilung nur 0.03 bit betragen hat, ist bei P_X = 3 die Differenz größer, nämlich 0.109 bit. Bei noch größerem P_X > 10 wird der Abstand zwischen gleichmäßiger und bestmöglicher Leistungsaufteilung noch geringer: Zum Beispiel beträgt die Differenz für P_X = 100 nur noch 0.001 bit:

P₁ = P₂ = 50:

$$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, Y_2) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{50}{1} \right ) +\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{50}{4} \right )=\\ = \hspace{-0.15cm} 2.836\,{\rm bit}+ 1.877\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 4.713\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$

P₁ = 51.5, P₂ = 48.5:

$$C_2\hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{51.5}{1} \right ) +\frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{48.5}{4} \right )=\\ = \hspace{-0.15cm} 2.857\,{\rm bit}+ 1.857\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\underline{= 4.714\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$