Exercise 4.2: Low-Pass for Signal Reconstruction

Kontinuierliches und diskretes Spektrum

Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$ , deren Betrags-Spektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$ .

Von der Spektralfunktion $Q_{\rm kon}(f)$ ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:

$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$

Das Spektrum $Q_{\rm dis}(f)$ beinhaltet Spektrallinien bei $±1 \ \rm kHz$ , $±2 \ \rm kHz$ , $±3 \ \rm kHz$ und $±4 \ \rm kHz$ . Somit gilt:

$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i)$

mit

$C_1 = 1.0 \ \rm V$ ,

$C_2 = 1.8 \ \rm V$ ,

$C_3 = 0.8 \ \rm V$ ,

$C_4 = 0.4 \ \rm V$ . Die Phasenwerte

$φ_1$ ,

$φ_2$ und

$φ_3$ liegen jeweils im Bereich

$±18^\circ$ und es gilt

$φ_4 = 90^\circ$ .

Die Signale werden jeweils mit der Frequenz $f_A$ abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G$ zugeführt. Dieses Szenario gilt zum Beispiel für

die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und
die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl M.

Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal $υ(t)$ bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt $ε(t) = υ(t) – q(t)$ . Dieses ist nur dann von 0 verschieden, wenn die Parameter der Abtastung ( $f_A$ ) und/oder der Signalrekonstruktion ( $f_G$ ) nicht bestmöglich dimensioniert sind.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten PCM-Codierung und -Decodierung.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Für die Lösung der Teilaufgabe (2) ist vorauszusetzen, dass alle Sprachsignale normiert und auf den Bereich $±1$ amplitudenbegrenzt sind.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 4.1.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. Richtig ist nur die erste Aussage. Die Abtastung von

$q_{dis}(t)$ mit der Abtastfrequenz

$f-A = 8 kHz$ führt zu einem irreversiblen Fehler, da

$Q_{dis}(f)$ einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei

$f_4 = 4 kHz$ beinhaltet und der Phasenwert

$φ_4 ≠ 0$ ist. Mit dem hier angegebenen Phasenwert

$φ_4 = 90°$ (4 kHz– Sinuskomponente) gilt

$ε_{dis}(t) = υ_{dis}(t) – q_{dis}(t) = –0.4 V · sin(2π · f_4 · t)$ . Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe Z4.2.

Dagegen kann das Signal $q_{kon}(t)$ mit dem kontinuierlichen Spektrum $Q_{kon}(f)$ auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass (mit der Grenzfrequenz $f_G = 4 kHz$ ) vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_A = 8 kHz$ verwendet wurde. Für alle Frequenzen ungleich $f_4$ ist das Abtasttheorem erfüllt. Der Anteil der $f_4$ –Komponente am gesamten Spektrum $Q_{kon}(f)$ ist aber nur verschwindend klein ⇒ $Pr(f_4) → 0$ , solange das Spektrum bei f4 keine Diraclinie aufweist.

2. Mit $f-A = 10 kHz$ wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt und mit $f_G = f_A/2$ sind beide Fehlersignale $ε_{kon}(t)$ und $ε_{dis}(t)$ gleich 0 ⇒ Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1.

Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange $f_G > 4 kHz$ und $f_G < 6 kHz$ gilt.

3. Mit $f_G = 3.5 kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4 kHz$ –Anteil, das heißt dann gilt: $v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$ ⇒ Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 2.

4. Durch die Abtastung mit $f_A = 10 kHz$ ergibt sich das folgende periodische Spektrum:

Der Tiefpass entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7 kHz$ , nicht aber den $6 kHz$ –Anteil. Das Fehlersignal $ε_{dis}(t) = υ_{dis}(t) – q_{dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit

der Frequenz $f_6 = f_A – f_4 = 6 kHz$ ,
der Amplitude $A_4$ des $f_4$ –Anteils,
der Phase $φ_{–4} = –φ_4$ des $Q(f)$ –Anteils bei $f = –f_4$ .

⇒ Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 3.

	Das Signal $q_{kon}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{kon}(t) = 0$
	Das Signal $q_{dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{dis}(t) = 0$ .

	Das Signal $q_{dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{dis}(t) = 0$ .
	$ε_{dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $4 kHz$ .
	$ε_{dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $6 kHz$ .