Exercise 5.4: Walsh Functions (PCCF, PACF)

Hadamard–Matrix H₈

Häufig verwendet man zur Bandspreizung und Bandstauchung so genannte Walsh–Funktionen, die mittels der Hadamard–Matrix konstruiert werden können. Ausgehend von der Matrix

$${\mathbf{H}_{2}} = \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] $$

lassen sich durch folgende Rekursiont die weiteren Hadamard–Matrizen $ {\mathbf{H}_{4}}$, $ {\mathbf{H}_{8}}$, usw. herleiten:

$$ {\mathbf{H}_{2J}} = \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Matrix $ {\mathbf{H}_{8}}$ für den Spreizfaktor $J = 8$. Daraus lassen sich die Spreizfolgen

$$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$

$$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$

$$...$$

$$\langle w_\nu^{(7)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm}{-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$

für sieben CDMA–Teilnehmer ablesen. Die Spreizfolge $ \langle w_\nu^{(0)}\rangle$ entsprechend der ersten Zeile in der Hadamard–Matrix wird meistens nicht vergeben, da sie nicht spreizt.

Die Fragen beziehen sich meist auf den Spreizfaktor $J = 4$. Damit können entsprechend mit den Spreizfolgen $ \langle w_\nu^{(1)}\rangle$, $ \langle w_\nu^{(2)}\rangle$ und $ \langle w_\nu^{(3)}\rangle$ maximal drei CDMA–Teilnehmer versorgt werden, die sich aus der zweiten, dritten und vierten Zeile der Matrix $ {\mathbf{H}_{4}}$ ergeben.

Hinsichtlich der Korrelationsfunktionen soll in dieser Aufgabe folgende Nomenklatur gelten:

Die periodische Kreuzkorrelationsfunktion (PKKF) zwischen den Folgen $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$〉 und $ \langle w_\nu^{(j)}\rangle$ wird mit $φ_{ij}(λ)$ bezeichnet. Hierbei gilt:

$${\it \varphi}_{ij}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(j)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Ist die PKKF $φ_{ij} \equiv 0$ (das heißt: $φ_{ij}(λ) = 0$ für alle Werte von $λ$), so stören sich die CDMA–Teilnehmer nicht, auch wenn zwei Teilnehmer unterschiedliche Laufzeiten aufweisen.
Gilt zumindest $φ_{ij}({\it λ} = 0) = 0$, so kommt es zumindest bei synchronem CDMA–Betrieb (keine oder gleiche Laufzeiten aller Teilnehmer) zu keinen Interferenzen.
Die periodische Autokorrelationsfunktion (PAKF) der Walsh–Funktion $ \langle w_\nu^{(i)}\rangle$ wird mit $φ_{ii}(λ)$ bezeichnet, und es gilt:

$${\it \varphi}_{ii}(\lambda) = {\rm E}\left [ w_{\nu}^{(i)} \cdot w_{\nu+ \lambda}^{(i)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Spreizfolgen für CDMA.
Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Walsh–Funktionen im Theorieteil.
Wir möchten Sie gerne auch auf das Interaktionsmodul Walsh-Funktionen hinweisen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Die Abszisse ist auf die Chipdauer $T_c$ normiert. Das bedeutet, dass $λ = 1$ eigentlich eine Verschiebung um die Verzögerungszeit $τ = T_c$ beschreibt.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. Die Matrix $H_4$ ist die linke obere Teilmatrix von $H_8$. Die Spreizfolgen ergeben sich aus den Zeilen 2, 3 und 4 von $H_4$, und stimmen mit den angegebenen Folgen überein. Somit sind alle Vorschläge richtig.

2. Entsprechend den Gleichungen im Angabenteil gilt: $${\it \varphi}_{12}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$ $${\it \varphi}_{13}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm},$$ $${\it \varphi}_{23}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (+1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (+1) \right ] = 0\hspace{0.05cm}.$$ Auch für größere Werte von J ist der PKKF–Wert $φ_{ij}(λ = 0)$ für i ≠ j stets 0. Daraus folgt: Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht. Richtig sind somit alle Aussagen mit Ausnahme von Lösungsvorschlag (4).

3. Die PKKF $φ_{12}(λ)$ ist für alle Werte von λ gleich 0, wie die folgenden Zeilen zeigen: $$\langle w_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_{\nu+1}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_{\nu+2}^{(2)}\rangle = {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_{\nu+3}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Produkt\hspace{0.1cm} mit \hspace{0.1cm}}\langle w_\nu^{(1)}\rangle: {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$ $$\langle w_{\nu+4}^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} = \langle w_\nu^{(2)}\rangle \hspace{0.05cm}.$$ Das gleiche gilt für die PKKF $φ_{13}(λ)$. Dagegen erhält man für die PKKF zwischen den Folgen 〈$w_ν^{(2)}$〉 und 〈$w_ν{(3)}$〉: $${\it \varphi}_{23}(\lambda ) = \left\{ \begin{array}{c}0 \\+1\\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} \lambda = 0, \pm 2, \pm 4,\pm 6, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -3, +1, +5, ... \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{0.14cm} \lambda = ... \hspace{0.05cm} , -5, -1, +3, ... \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Das bedeutet: Wird das Signal von Teilnehmer 3 gegenüber Teilnehmer 2 um ein Spreizchip verzögert oder umgekehrt, so lassen sich die Teilnehmer nicht mehr trennen und es kommt zu einer signifikanten Erhöhung der Fehlerwahrscheinlichkeit. Richtig sind also nur die Lösungsvorschläge 1 und 2.

In der nachfolgenden Grafik sind die PKKF–Kurven gestrichelt eingezeichnet (violett und rot).

4. Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4. Da die Walsh–Funktion Nr. 1 periodisch ist mit $T_0 = 2T_c$, ist auch die PAKF periodisch mit λ = 2.

Die zweite Aussage ist richtig, wie die folgende Rechnung zeigt (grüner Kurvenzug): $${\it \varphi}_{11}(\lambda = 0) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (+1) + (-1) \cdot (-1) \right ] = 1\hspace{0.05cm},$$ $${\it \varphi}_{11}(\lambda = 1) = \frac{1}{4} \cdot \left [ (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) + (+1) \cdot (-1) \right ] = -1\hspace{0.05cm}.$$ Da sich die beiden Walsh–Funktionen Nr. 2 und 3 nur durch eine Verschiebung um $T_c$ unterscheiden und sich eine Phase in der PAKF prinzipiell nicht auswirkt, ist tatsächlich entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$. Diese beiden PAKF–Funktionen sind blau eingezeichnet.

Dagegen unterscheidet sich $φ_{22}(λ)$ von $φ_{11}(λ)$ durch eine andere Periodizität: $φ_{22}(λ) = φ_{33}(λ)$ ist doppelt so breit wie $φ_{11}(λ)$.

	Für $J = 4$ ist $φ_{12}(λ = 0) = 0$.
	Für $J = 4$ ist $φ_{13}(λ = 0) = 0$.
	Für $J = 4$ ist $φ_{23}(λ = 0) = 0$.
	Für $J = 8$ kann durchaus $φ_{ij}(λ = 0) ≠ 0$ gelten $(i ≠ j)$.
	Bei synchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.

	Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{12}(λ) = 0$.
	Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{13}(λ) = 0$.
	Für alle Werte von $λ$ ist die PKKF $φ_{23}(λ) = 0$.
	Bei asynchronem CDMA stören sich die Teilnehmer nicht.

	Alle $φ_{ii}(λ)$–Kurven sind periodisch.
	Es gilt $φ_{11}(λ = 0) = +\hspace{-0.05cm}1$ und $φ_{11}(λ = 1) = -\hspace{-0.05cm}1$.
	Es gilt $φ_{22}(λ) = φ_{11}(λ)$.
	Es gilt $φ_{33}(λ) = φ_{22}(λ)$.

	$ \langle w_\nu^{(1)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1$,
	$ \langle w_\nu^{(2)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 +\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1$,
	$ \langle w_\nu^{(3)}\rangle = +\hspace{-0.05cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 -\hspace{-0.15cm}1 +\hspace{-0.15cm}1$.