Implementation of OFDM Systems

1. Modulation Methods
2. Vielfachzugriffsverfahren
3. Implementation of OFDM Systems

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OFDM mittels diskreter Fouriertransformation (DFT)

Betrachten wir nun erneut die sich zeitlich nicht überlappenden Sendesignalrahmen

$$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,\hspace{0.08cm}k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R}} )},$$

wobei $k$ die Rahmennummer angibt. Diese besitzen zu den Abtastzeiten $k · T_{\rm R} + ν · T_{\rm A}$ mit $0 ≤ ν < N$ und $T_{\rm A} = T/N$ die Abtastwerte

$$s_{\nu ,k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,k} \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi}} {\kern 1pt}\cdot \hspace{0.03cm}\nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}{\mu}/{N}} }.$$

Mit der Umbenennung $s_{ν,\hspace{0.08cm}k} = d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$ und $a_{\mu,\hspace{0.08cm}k} = D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$ entspricht diese Gleichung exakt der Inversen Diskreten Fouriertransformation – abgekürzt IDFT – im jeweils $k$–ten Intervall:

$$\quad d_{\nu ,k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu ,k} \cdot w^{ - \nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \mu } } \quad {\rm{mit}} \quad w = {\rm{e}}^{ - {\rm{j}} {\rm{\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi}}/N}.$$

Hierbei sind $d_{ν,k}$ die Zeitabtastwerte und $D_{ν,\hspace{0.08cm}k}$ die diskreten Spektralkoeffizienten. Die Gleichung für den Übergang von der diskreten Zeit– zur diskreten Spektralfunktion – also die DFT – lautet:

$$\quad D_{\mu ,k} = \frac{1}{N}\cdot \sum\limits_{\nu = 0}^{N - 1} {d_{\nu ,k} \cdot w^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\mu } }.$$

Weiterhin gilt:

• Die Koeffizienten $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$ und $D_{μ,\hspace{0.08cm}k}$ sind mit der Stützstellenanzahl $N$ periodisch. Zudem sind sie im Allgemeinen komplexwertig.
• DFT und IDFT sind prinzipiell gleich aufgebaut und unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen im Exponenten des komplexen Drehfaktors $w$ sowie den Normierungsfaktor $1/N$ bei der DFT.

Hinweise:

• Das Interaktionsmodulodul Diskrete Fouriertransformation verdeutlicht die Eigenschaften von DFT und IDFT.
• Die Möglichkeit einer sehr effizienten Realisierung des Mehrträgersystems ergibt sich mit Hilfe der Schnellen Fouriertransformation (englisch: Fast Fourier Transform, FFT).
• Für die Verwendung von FFT/IFFT muss die Anzahl der Stützstellen (bzw. Abtastwerte) im Zeit– und Frequenzbereich jeweils eine Zweierpotenz sein.
• Unter dieser Voraussetzung ist mit den verschiedenen bekannten Algorithmen zur Umsetzung der FFT eine Berechnung mit der Komplexität ${\rm O}(N · {\rm log_2} \ (N))$ möglich.

Realisierung des OFDM–Senders

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Realisierung eines OFDM–Senders mittels der Inversen Diskreten Fouriertransformation (IDFT). Diese ersetzt im allgemeinen Modell zu Beginn des letzten Kapitels die sehr aufwändige parallele Demodulation der $N$ orthogonalen Träger. Durch die Realisierung der „IDFT” als IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) ergibt sich eine weitere Aufwandsreduktion.

Blockschaltbild eines OFDM-Senders

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Im Eingangspuffer wird das Quellensignal $q(t)$ implizit seriell/parallel (S/P) gewandelt und danach eine Signalraumzuordnung auf die $N$ Spektralkoeffizienten $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$ vorgenommen. Der Index $k$ kennzeichnet wieder den Zeitrahmen.
• Bei 4–QAM–Mapping ergeben jeweils zwei Quellensymbole zusammen einen komplexen Koeffizienten $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$, der vier verschiedene Werte annehmen kann.
• Die so erzeugten Spektralkoeffizienten $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$ werden anschließend dem IDFT–Block zugeführt, der daraus die Zeitbereichswerte $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$ generiert.
• Diese werden wieder parallel/seriell (P/S) gewandelt. Nach der darauf folgenden D/A–Wandlung und einer Tiefpassfilterung erhält man schließlich das OFDM–Sendesignal $s(t)$ im äquivalenten Tiefpassbereich.

Realisierung des OFDM–Empfängers

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Realisierung eines OFDM–Empfängers mittels der Diskreten Fouriertransformation (IDFT). Diese ersetzt im allgemeinen Modell zu Beginn des letzten Kapitels die sehr aufwändige parallele Demodulation der $N$ orthogonalen Träger. Durch die Realisierung der „DFT” als FFT (Fast Fourier Transform) ergibt sich eine weitere Aufwandsreduktion.

Blockschaltbild eines OFDM-Empfängers

Die wesentlichen Schritte dabei sind:

• Das Eingangssignal $r(t)$ des Empfängers wird zunächst digitalisiert (A/D–Wandlung). Darauf folgt eine Vorentzerrung im Zeitbereich (optional), zum Beispiel mittels Entscheidungsrückkopplung (Decision Feedback Equalization, DFE) oder dem Viterbi–Algorithmus.
• Anzumerken ist, dass die entscheidende Entzerrung jedoch im Frequenzbereich erfolgt. Diese wird erst im Abschnitt OFDM–Entzerrung im Frequenzbereich am Kapitelende exemplarisch erläutert und ist in obiger Grafik nicht berücksichtigt.
• Nach der Seriell/Parallel–Wandlung (S/P) werden die diskreten Zeitwerte $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$ dem DFT–Block zugeführt. Die erzeugten Spektralabtastwerte $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$ werden durch den QAM–Detektor decodiert und im Ausgangspuffer implizit parallel/seriell gewandelt, woraus das Sinkensignal $v(t)$ hervorgeht.
• Zu beachten ist allerdings, dass sich die empfängerseitigen Koeffizienten $d_{ν,\hspace{0.08cm}k}$ und $D_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$ aufgrund von Kanalverzerrungen und Rauschen von den entsprechenden Größen des OFDM–Senders durchaus unterscheiden können, was bei der gewählten Nomenklatur nicht zum Ausdruck kommt.
• Die Koeffizienten $â_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$ des Sinkensignals $v(t)$ sind nur bei fehlerfreier Detektion identisch mit den Koeffizienten $a_{\mu,\hspace{0.08cm}k}$ des Quellensignals $q(t)$. Im Allgemeinen unterscheiden sich diese, was durch die Symbolfehlerrate erfasst wird.

Intercarrier–Interferenzen und Impulsinterferenzen

Die Orthogonalität der OFDM–Träger geht bei der Übertragung über einen frequenzselektiven Kanal verloren. Die daraus resultierende Interferenz zwischen den einzelnen Trägern bezeichnet man als Intercarrier–Interferenz (ICI). Die Übertragung über einen solchen Mehrwegekanal bewirkt letztlich aber auch eine Überlagerung aufeinander folgender Symbole und damit Impulsinterferenzen (engl. Intersymbol Interference, ISI).

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt den Realteil eines OFDM–Empfangssignals im äquivalenten Tiefpassbereich nach der Übertragung über einen rauschfreien Mehrwegekanal mit den Parametern

• für den Pfad „0”:   Dämpfung $h_0 = 0.5$;   Verzögerung $τ_0 = 0$,
• für den Pfad „1”:   Dämpfung $h_1 = 0.5$;   Verzögerung $τ_1 = T/4$.

OFDM-Empfangssignal über Mehrwegekanal

Schwarz gezeichnet ist der mit „Plus–Eins” belegte Träger der Frequenz $1 · f_0$ des Intervalls $k$. Der mit „Minus–Eins” gewichtete Träger mit der Frequenz $3 · f_0$ im vorherigen Intervall $(k–1)$ ist rot dargestellt. Andere Intervalle und Träger werden nicht berücksichtigt. Man erkennt aus dieser Skizze:

• Die Einschwingvorgänge zu Symbolbeginn führen zu Intercarrier–Interferenz (ICI) im Spektrum. Im Zeitbereich erkennt man ICI an den auftretenden Sprüngen (in der Grafik gelb markiert). Dadurch geht die Orthogonalität bezüglich der Frequenzstützstellen verloren.
• Weiter erkennt man Impulsinterferenzen (ISI) im grün markierten Zeitintervall $0 ≤ t < τ_1$: Das Vorgängersymbol $k–1$ (Frequenz $3 · f_0$) stört das Symbol $k$ (Frequenz $1 · f_0$).

Guard–Lücke zur Verminderung der Impulsinterferenzen

Ein erster möglicher Lösungsansatz für das zweite Problem (ISI) ist die Einführung einer Guard–Lücke der Länge $T_{\rm G}$:

• Dabei wird das Signal zwischen zwei Symbolen für die Dauer der Schutzzeit $T_{\rm G}$ zu Null gesetzt.
• Mögliche Impulsnachläufer des Symbols $k–1$ reichen dadurch nicht mehr in das darauffolgende Symbol $(k)$ hinein, sofern die Guard–Lücke „breiter” als die maximale Kanalverzögerung gewählt wird.
• Die neue Rahmendauer $T_{\rm R}$ – also der Abstand der Sendesymbole – ergibt sich damit zu $T_{\rm R} = T + T_{\rm G}$.

Prinzip der Guard-Lücke

$\text{Beispiel 2:}$  Die folgende Grafik zeigt wieder den Realteil des OFDM–Empfangssignals, aber nun mit Guard–Lücke. Die Annahmen von Beispiel 1 wurden beibehalten und zusätzlich $T_{\rm G} = T/4$ gesetzt, was beim vorliegenden Kanal dem Grenzfall $T_{\rm G} = τ_{\rm max}$ entspricht.

OFDM-Empfangssignal über Mehrwegekanal mit Guard-Lücke

• Die Grafik zeigt, dass durch die Verwendung einer Guard–Lücke entsprechender Breite Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden können, erkennbar daran, dass im Intervall $k$ nur mehr eine Frequenz auftritt.
• 'Intercarrier–Interferenzen (ICI) lassen sich dadurch aber nicht verhindern lassen, da die Symbole weiterhin eine Einschwingphase und damit Sprünge aufweisen.

Der Ansatz „Guard–Lücke” wird nicht weiter betrachtet. Vielmehr wird im nächsten Abschnitt eine bessere Alternative vorgestellt.

Zyklisches Präfix

Eine besser geeignete Lösung für das beschriebene Problem ist die Einführung einer zyklischen Erweiterung der Sendesymbole im so genannten Guard–Intervall der Länge $T_{\rm G}$. Dafür wird das Ende eines Symbols im Zeitabschnitt $T \ – \ T_{\rm G} ≤ t < T$ dem eigentlichen Symbol erneut vorangestellt. Dieses Verfahren erzeugt somit ein zyklisches Präfix.

Prinzip des zyklischen Präfixes

Die Intervalldauer steigt dabei wie bei der Guard–Lücke von der ursprünglichen Symboldauer $T$ auf die neue Rahmendauer $T_{\rm R} = T + T_{\rm G}$. Die neue Anzahl der Abtastwerte des erweiterten zeitdiskreten Signals im $k$–ten Intervall beträgt dann: $$N_{\rm{gesamt}} = N + N_{\rm{G}} = N \cdot (1 + T_{\rm{G}} /T) .$$ Die Anzahl der Träger und die Anzahl der Nutz–IDFT–Werte ist weiterhin $N$. Die Erweiterung wird hier lediglich durch eine Wiederholung des Symbolendes $N-N_0$, ... , $N-1$ im (rot hinterlegten) Guard–Intervall erzielt.

Der Einsatz des zyklischen Präfixes erscheint dann besonders sinnvoll, wenn die Impulsinterferenzen vor allem durch Nachläufer hervorgerufen werden. Dies trifft auch auf die bei DSL–Systemen verwendeten Kupfer–Doppeladern zu.

OFDM-Empfangssignal über Mehrwegekanal mit zyklischem Präfix

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik zeigt die Funktionsweise des Guard–Intervalls im zeitkontinuierlichen Fall. Es gelten weiterhin die Systemparameter aus der Betrachtung der Guard–Lücke im Beispiel 2, wobei allerdings nur noch ein Symbol (mit der Frequenz $f_0$) betrachtet wird. Die weiteren Systemparameter sind wiederum $T_{\rm G} = T/4$ sowie für den für den Pfad „0” bzw. Pfad „1”:

• Dämpfung $h_0 = 0.5$;   Verzögerung $τ_0 = 0$,
• Dämpfung $h_1 = 0.5$;   Verzögerung $τ_1 = T/4$.

Im Rahmen $k$ der Dauer $T_{\rm R}$ sind keinerlei Interferenzen zu erkennen:

• Da die Vorgängersymbole während des Guard–Intervalls vollständig abklingen, gibt es kein ISI.
• Da die jeweiligen Einschwingvorgänge nicht in die Nutzsymbole hineinreichen, tritt auch kein ICI auf.

$\text{Fazit:}$ 

• Allein durch ein zyklisches Präfix lassen sich sowohl Intercarrier Interference (ICI) als auch Intersymbol Interference (ISI) vollständig vermeiden.
• Voraussetzung dafür ist, dass die Länge des Guard–Intervalls $(T_{\rm G})$ mindestens gleich der maximalen Dauer $τ_{\rm max}$ der Kanalimpulsantwort ist. Im betrachteten Beispiel gilt das Gleichheitszeichen zwischen $T_{\rm G}$ und $τ_{\rm max} = \tau_1$ .
• Die Länge der Kanalimpulsantwort $(τ_{\rm max})$ begrenzt allgemein den ISI– und ICI–freien Abschnitt innerhalb des Guard–Intervalls auf den Bereich $ \ –T_{\rm G} + τ_{\rm max} ≤ t < T$.

OFDM–System mit zyklischem Präfix

Die bereits vorne gezeigte Senderstruktur muss also noch um den Block „Zyklisches Präfix” ergänzt werden. Beim Empfänger muss dieses Präfix wieder entfernt werden.

OFDM-Sender und -Empfänger mit zyklischem Präfix

• Die Festlegung eines geeigneten Guard–Intervalls ist ein wichtiges Designkriterium bei OFDM–basierten Übertragungssystemen. Eine mögliche Vorgehensweise dazu wird im Abschnitt OFDM für 4G–Netze exemplarisch vorgestellt.
• Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die Bandbreiteneffizienz. Dabei steigt die Degradation mit wachsender Dauer $T_{\rm G}$ des Guard–Intervalls – nachfolgend abgekürzt mit GI. Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf $N/T$ begrenzten Sendespektrums $S(f)$ ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]:

$$\beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}} = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} }.$$

• Bei einem System, das dem so genannten Matched–Filter–Ansatz genügt, führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von $T$ auf $T_{\rm G} + T$ allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten $g_{\rm S}(t)$ und $g_{\rm E}(t)$ von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer $T$ angepasst sind. Das resultierende SNR (in dB) berechnet sich zu

$${\rm{SNR}}_{\hspace{0.03cm}{\rm{ {\rm{mit} }\hspace{0.03cm} GI} } } = {\rm{SNR}}_{\hspace{0.03cm}{\rm{{\rm{ohne}}\hspace{0.03cm} GI}}} + 10 \cdot \lg (\beta ), \quad {\rm{wobei}}\quad \beta = \frac{{\left[ {\int\limits_0^T {g_{\rm{S}} (\tau ) \cdot g_{\rm{E}} ( - \tau )d\tau } } \right]^2 }}{{\int\limits_{ - T_{\rm{G}} }^T {g_{\rm{S}}^2 (\tau )} \,d\tau \cdot \int\limits_{\rm{0}}^T {g_{\rm{E}}^2 (\tau )} \,d\tau }} = \frac{ {T^2 } } { {(T + T_{\rm{G} } ) \cdot T} } = \frac{1}{ {1 + T_{\rm{G} } /T} }.$$

$\text{Beispiel 4:}$  Gehen wir von einem Guard–Intervall der Länge $T_{\rm G} = T/3$ aus, dann ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz:

$$\beta = \frac{1}{ {1 + 1/3} } = 3/4.$$

Der Anteil des zyklischen Präfixes an der Rahmendauer $T_{\rm R}$ beträgt $25\%$ und der (logarithmische) SNR–Verlust ist dann $10 · \lg \ (4/3) ≈ 1.25 \ \rm dB$.

Das zu diesem Kapitel gehörende Interaktionsmodul OFDM–Spektrum und –Signale verdeutlicht die Funktionsweise eines zyklischen Präfixes im zeitkontinuierlichen Fall im Bezug auf Intercarrier–Interferenz (ICI).

OFDM–Entzerrung im Frequenzbereich

Wir betrachten das OFDM–System weiterhin im rauschfreien Fall und gehen von einer zeitinvarianten Kanalimpulsantwort aus, deren Länge geringer als die Dauer $T_{\rm G}$ des sendeseitig hinzugefügten zyklischen Präfixes ist. Die Betrachtung erfolgt im $k$–ten Intervall, wobei auf die Indizierung verzichtet wird. Die zeitdiskrete Kanalimpulsantwort lässt sich mit der Abkürzung $T_{\rm A} = T/N$ als $h_ν = h(ν · T_{\rm A})$ schreiben.

Das zeitdiskrete Empfangssignal ergibt sich damit durch lineare Faltung zu:

$$r_\nu = s_\nu * h_\nu = d_\nu * h_\nu.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass die Zeitabtastwerte $s_ν$ des Sendesignals mit den IDFT–Koeffizienten $d_ν$ übereinstimmen.

$\text{Zu beachten ist:}$  Im Allgemeinen gilt für die herkömmliche lineare Faltung:

$${\rm{DFT} } \{ d_\nu * h_\nu \} \ne {\rm{DFT} } \{d_\nu \} \cdot {\rm{DFT} } \{ h_\nu \}.$$

• Um dennoch das diskrete Empfangsspektrum durch die diskrete Fouriertransformation (DFT) angeben zu können, benötigt man die zyklische Faltung (hierfür werden synonym auch die Begriffe zirkulare Faltung und periodische Faltung verwendet):

$$r_\nu = d_\nu * _{\rm (circ)} h_\nu \quad \circ\hspace{0.01cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad R_\mu = {\rm{DFT} } \{ d_\nu * _{\rm (circ)} h_\nu \}.$$

• Mit dem Faltungssatz für lineare zeitinvariante Systeme (LZI–Systeme) kann man dann das Spektrum auch als Produkt zweier diskreter Fouriertransformierter schreiben:

$$R_\mu = {\rm{DFT} }\{ d_\nu \} \cdot {\rm{DFT} }\{ h_\nu \} = D_\mu \cdot H_\mu.$$

• Um den Einfluss des Kanals auf die Empfangsfolge auszugleichen, bietet sich also die Multiplikation des Spektrums mit der inversen Übertragungsfunktion $1/H_{\mu}$ an. Dieser „Zero Forcing”–Ansatz führt im rauschfreien Fall zur idealen Signalrekonstruktion. Die Entzerrung kann dabei punktweise erfolgen:

$$\hat D_\mu = \frac{1}{ {H_\mu } } \cdot R_\mu.$$

$\text{Fazit:}$

• Bei einem OFDM–System kann die Kanalentzerrung mit nur einer einzigen Multiplikation je Unterträger realisiert werden, sofern der Frequenzgang des Kanals bekannt ist.
• Bei einem klassischen Einträger–System müsste man demgegenüber den gesamten genutzten Frequenzbereich entzerren.

OFDM–Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation

Im Folgenden soll eine erneute, tiefer gehende Betrachtung der OFDM–Entzerrung erfolgen, wobei wir die Matrix–Vektor–Notation verwenden. Die Betrachtung bezieht sich weiterhin auf das $k$–te Intervall, ohne dass dies besonders vermerkt wird: Der Vektor eines Kanals mit $L$ Echos ist $\mathbf h = (h_0, ... , h_L)$. Die Übertragungsmatrix mit $N$ Zeilen und $N + L$ Spalten lautet:

$${\rm\bf{H}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & \ddots & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } \\ \end{array}} \right).$$

Hierbei gibt $N$ wieder die Anzahl der Träger und damit auch der Zeitabtastwerte der IDFT an. Mit dem Sendevektor ${\bf d} = (d_0, ... , d_{N–1})$ ergibt sich der Empfangsvektor zu $\bf r = d · H$.

Unter Berücksichtigung des zyklischen Präfixes erhält man den erweiterten Sendevektor:

$${\rm\bf{d}}_{{\rm{ext}}} = (d_{N - N_G } , \ldots ,d_{N - 1} ,d_0 , \ldots ,d_{N - 1} ).$$

Nun könnte man die obige Übertragungsmatrix $\bf H$ ebenfalls entsprechend auf $(N + N_{\rm G})$ Zeilen und $(N + L + N_{\rm G})$ Spalten erweitern sowie das Präfix am Empfänger wieder entfernen, was hier nicht weiter verfolgt werden soll.

• Alternativ kann man aber auch die zyklische Matrix $\rm \bf \ H_C$ mit $N$ Zeilen und $N$ Spalten sowie die Fouriertransformation $\rm \bf \ F$ in Matrix–Vektor–Notation verwenden:

$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & \ddots & {} & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } \\ \hline {h_L } & {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_{L - 1} } \\ \vdots & \ddots & {} & {} & {} & \ddots & {} & \vdots \\ \vdots & {} & \ddots & {} & {} & {} & \ddots & \vdots \\ {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right), \hspace{1cm} {\rm\bf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & {} & {} & {} \\ \vdots & {} & {{\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi }}{\kern 1pt} \cdot \hspace{0.02cm}\nu {\kern 1pt} \cdot\mu /N} } & {} \\ 1 & {} & {} & {} \\ \end{array}} \right) .$$

• Daraus ergibt sich die Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit $1/N · \bf F$ und deren Inverse (IDFT) mit $\rm \bf F^{\star}$, so dass sich der Sendevektor als $\rm \bf d = D · F^{\star}$ darstellen lässt.

• Die $N$ Spektralkoeffizienten werden durch den Vektor ${\rm \bf D} = 1/N · \rm \bf d · F$ beschrieben und der Empfangsvektor ist $\rm \bf r = d · H_C = D · F^{\star} · H_C$.

• Die (diskrete) Fourier–Transformierte des Empfangsvektors $\rm \bf r$ kann dann in folgender Weise geschrieben werden:

$${\rm\bf{R}} = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{r}} \cdot {\rm\bf{F}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {H_{N - 1} } \\ \end{array}} \right),\hspace{0.25cm} {\rm mit}\hspace{0.25cm} H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^L {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi }}{\kern 1pt} \cdot \hspace{0.02cm}l {\kern 1pt} \cdot\mu /N} }.$$

Blockschaltbild der OFDM–Entzerrung

$\text{Fazit:}$ 

• Das Empfangssymbol auf dem $\mu$–ten Träger ist somit $R_{\mu} = D_{\mu} · H_{\mu}$.
• Dieses lässt sich somit wiederum mit dem Zero Forcing–Ansatz entzerren:

$$\hat D_\mu = \frac{1}{ {H_\mu } } \cdot R_\mu = e_\mu \cdot R_\mu .$$

• Die vorgeschlagene Entzerrung mit den Entzerrungskoeffizienten $e_{\mu} = 1/H_{\mu}$ mit $\mu = 0,$ ... , $N–1$ führt schließlich zum endgültigen OFDM–Empfängers, dessen Blockschaltbild rechts dargestellt ist.

$\text{Beispiel 5:}$  Wir gehen von einem System mit $N = 4$ Trägern und einem Kanal mit $L = 2$ Echos aus, so dass für den Sendevektor ${\bf d} = (d_0, d_1, d_2, d_3)$ und für die Kanalimpulsantwort ${\bf h} = (h_0, h_1, h_2)$ gilt.

(1)   Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix die zyklische Übertragungsmatrix ${\rm\bf{H} }_{\rm{C} }$, woraus sich der Empfangsvektor $\rm \bf r = d · H_c$ ergibt:

$${\rm\bf{H} }_{\rm{C} } = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & { } \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array} } \right), \hspace{1cm} {\rm\bf{r} } = \left( {r_0 ,r_1 ,r_2 ,r_3 } \right) = \left( {d_0 ,d_1 ,d_2 ,d_3 } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array} } \right) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} r_0 = d_0 \cdot h_0 + d_2 \cdot h_2 + d_3 \cdot h_1, \hspace{0.5cm} r_1 = d_0 \cdot h_1 + d_1 \cdot h_0 + d_3 \cdot h_2,$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} r_2 = d_0 \cdot h_2 + d_1 \cdot h_1 + d_2 \cdot h_0, \hspace{0.5cm} r_3 = d_1 \cdot h_2 + d_2 \cdot h_1 + d_3 \cdot h_0.$$

(2)   Die (diskrete) Fourier–Transformierte des Empfangsvektors berechnet sich zu

$${\rm\bf{R} } = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{r} } \cdot {\rm\bf{F} } = {\rm\bf{D} } \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array} } \right) ,\hspace{0.25cm} {\rm mit}\hspace{0.25cm} H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi } }{\kern 1pt} \cdot \hspace{0.02cm}l {\kern 1pt} \cdot\mu /4} } .$$

(3)   Für die numerische Berechnung gehen wir nun von einer bekannten, BPSK–codierten Sendefolge $\rm \bf D$ (im Frequenzbereich) und der folgenden Kanalimpulsantwort $\bf h$ aus:

$${\rm\bf{D} } = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{d} } \cdot {\rm\bf{F} } = \left( D_0, D_1,D_2,D_3\right) = \left( +1,-1,+1,-1\right),\hspace{1cm} {\rm\bf{h} }= \left( h_0, h_1,h_2\right) = \left( 0.5,0.3,0.2\right).$$

(4)   Zunächst bestimmen wir die Elemente $H_{\mu}$ der Diagonalmatrix:

$$\begin{array}{l} H_0 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^0 = 0.5 + 0.3 + 0.2 = 1,} \\ H_1 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j2\pi } }{\kern 1pt} l {\kern 1pt} \cdot {1}/{4} } } = 0.5 \cdot {\rm{e} }^0 + 0.3 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\pi } } /2 } + 0.2 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\pi } } } = 0.3 - {\rm{j} } \cdot 0.3, \\ H_2 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j2\pi } }{\kern 1pt} l {\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} {2}/{4} } } = 0.5 \cdot {\rm{e} }^0 + 0.3 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j\pi } } } + 0.2 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j2\pi } } } = 0.4, \\ H_3 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j2\pi } } {\kern 1pt} l {\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} {3}/{4} } } = 0.5 \cdot {\rm{e} }^0 + 0.3 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j \frac{3}{2} \pi } } } + 0.2 \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j3\pi } } } = 0.3 + {\rm{j} } \cdot 0.3. \\ \end{array}$$

Damit ergibt sich der Vektor der Frequenzstützstellen am Empfänger zu

$$\begin{align*}{\rm\bf{R} } &= \left( {\rm{1, -1, \; \; 1, -1} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & {} & {} & {} \\ {} & {0.3 - {\rm{j} } \cdot 0.3} & {} & {} \\ {} & {} & {0.4} & {} \\ {} & {} & {} & {0.3 + {\rm{j} } \cdot 0.3} \\ \end{array} } \right) \ = \ {\rm{ (1, -0.3 + j \cdot 0.3, \; \; 0.4, -0.3 - j \cdot 0.3) } }.\end{align*}$$

(5)   Die Entzerrerkoeffizienten wählt man nun entsprechend $e_{\mu} = 1/H_{\mu}$, wobei $\mu = 0$, ... , $3$ gilt:

$$e_0 = 1, \quad e_1 = \frac{1}{ {0.3 - {\rm{j} } \cdot 0.3} }, \quad e_2 = \frac{1}{ {0.4} }, \quad e_3 = \frac{1}{{0.3 + {\rm{j} } \cdot 0.3} }.$$

(6)   Die entzerrte Symbolfolge ergibt sich mit ${\bf e} = (e_0, e_1, e_2, e_3)$ schließlich zu

$$\hat {\rm\bf{D} } = {\rm\bf{R} } \cdot {\rm\bf{e} }^{\rm{T} } = (R_0 ,R_1 ,R_2 ,R_3) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {e_0 } \\ {e_1 } \\ {e_2 } \\ {e_3 } \\ \end{array}} \right) = \left( 1, -1, \; \; 1, -1 \right).$$

⇒   Dies entspricht exakt der Sendesymbolfolge $\bf D$. Das heißt:
Bei Kenntnis des Kanals lässt sich das Signal ideal entzerren, wobei man pro Symbol (Träger) nur eine einzige Multiplikation benötigt.

Vor– und Nachteile von OFDM

Wesentliche Vorteile von OFDM gegenüber Einträger– oder anderen Mehrträgersystemen sind:

• flexibel hinsichtlich Anpassung an schlechte Kanalzustände,
• einfache Kanalorganisation,
• sehr einfach zu realisierende Entzerrung,
• durch Guard–Intervall–Technik sehr robust gegen Mehrwegeausbreitung,
• hohe spektrale Effizienz,
• einfache Implementierung mit Hilfe der IFFT/FFT (Schnelle Fouriertransformation),
• relativ unempfindlich für ungenaue Zeitsynchronisation.

Wesentliche Nachteile von OFDM sind:

• anfällig für Doppler–Spreizungen durch eine relativ lange Symboldauer,
• empfindlich gegenüber Oszillatorschwankungen,
• ein schlechter Crest–Faktor (Scheitelfaktor).

Anmerkung: Der so genannte Crest–Faktor beschreibt das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße. Bei einem OFDM–System kann dieser sehr groß sein. Dadurch sind die daraus resultierenden Anforderungen an die verwendeten Verstärkerschaltungen sehr hoch (Linearität über einen weiten Bereich), wenn dabei die Effizienz (Energieverbrauch, Abwärme) nicht außer Acht gelassen werden soll.

$\text{Fazit:}$  Die Vorteile von OFDM überwiegen die Nachteile bei Weitem:

• Obwohl das grundsätzliche Verfahren mindestens seit der Veröffentlichung [Wei71] bekannt ist, finden die OFDM–Systeme allerdings erst seit den 1990–Jahren Verwendung.
• Die Hauptursache dafür ist wohl unter anderem darin zu suchen, dass die für die IFFT bzw. FFT benötigten leistungsfähigen Signalprozessoren erst seit einigen Jahren verfügbar sind.