Periodendauer periodischer Signale

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Programmbeschreibung

Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

• Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert:   $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
• Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t^*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t^*$.
• Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung. Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals.

Theoretischer Hintergrund

• Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt:   $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.

• Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.

$\text{Berechnungsvorschrift:}$  Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$

wobei „ggT” den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.

$\text{Beispiele:}$  

(a)   $f_1 = 1.0\ \rm kHz$,   $f_2 = 3.0\ \rm kHz$   ⇒   $f_0 = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) \ \rm kHz = 1.0\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b)   $f_1 = 1.0\ \rm kHz$,   $f_2 = 3.5\ \rm kHz$   ⇒   $f_0 = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5) \ \rm kHz = 0.5\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = 2\ \rm ms$;

(c)   $f_1 = 1.0\ \rm kHz$,   $f_2 = 2.5\ \rm kHz$   ⇒   $f_0 = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) \ \rm kHz = 0.5\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d)   $f_1 = 0.9\ \rm kHz$,   $f_2 = 3.5\ \rm kHz$   ⇒   $f_0 = {\rm ggt}(0.9, \ 3.5) \ \rm kHz = 0.1\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = 10 \ \rm ms$;

(e)   $f_2 = \sqrt{2} \cdot f_1 $   ⇒   $f_0 = {\rm ggt}(f_1 \ f_2) \to 0$   ⇒   $T_0 \to \infty$  ⇒   Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.

$\text{Anmerkung:}$  Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

(c)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$,   $T_2 = 0.4\ \rm kHz$   ⇒   $f_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen führen, zum Beispiel

(a) $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Vorschlag für die Versuchsdurchführung

$\text{(1)}$  Voreinstellung:

$x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
• 2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet   ⇒   Applet-Variante 1.
• Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit der Applets in neuem Fenster

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