Exercise 1.2: Bit Error Rate

Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein BSC–Modell (Binary Symmetrical Channel) mit Fehlerwahrscheinlichkeit p angenähert werden kann. Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge 〈υ_ν〉 mit der Quellensymbolfolge 〈q_ν〉 vergleicht und daraus die Fehlerfolge 〈e_ν〉 ermittelt. Dabei gilt:

$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} v_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}, \\ v_\nu \ne q_\nu . \\ \end{array}$$ Die Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate)

$$BER = \frac{1}{N}\cdot\sum\nolimits_{\nu=1}^N e_\nu$$ stellt eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p dar. Je größer der Simulationsparameter N gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung. Aus der Aufgabe A3.7 im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße BER eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit dem Mittelwert p und der Streuung $$\sigma = \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}$$ angenähert werden kann.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.2 dieses Buches sowie auf das Kapitel 3.5 im Buch „Stochastische Signaltheorie”. In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen ϕ(x) und Q(x) angegeben.

Fragebogen

	BER ist eine Wahrscheinlichkeit.
	BER ist eine relative Häufigkeit.
	Wenn N hinreichend groß ist, stimmt BER mit p exakt überein.

$σ$ =

$Pr(|BER – p| > 0.05 · p)$ =

$ N_\min$ =

Musterlösung

Solution

(1) BER ist als Quotient aus der Anzahl n_B der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl N aller simulierten Symbole und damit tatsächlich als relative Häufigkeit definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass BER = p gilt, ist stets genau 0, da BER eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt. Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass BER in einem schmalen Intervall um p liegt, mit steigendem N immer größer. Trotzdem gilt: Richtig ist nur die zweite Aussage.

(2) Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße BER ergibt sich mit p = 10^–2 und N = 10⁶ zu $$\sigma = \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$ (3) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerrate (kurz BER) einen Wert außerhalb des Bereichs von 0.95 · p und 1.05 · p annimmt, kann mit ε = 5 · 10^–4 (wegen p = 0.01) wie folgt berechnet werden: $${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right) = {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right) = {\rm Q} \left({\varepsilon}/{\sigma} \right)$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER} - p| > \varepsilon \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.574 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Mit p = 10^–4 gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit: $${\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right)\hspace{0.05cm}.$$ $$\sigma \approx \sqrt{{ p}/{N}}= 10^{-5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}:$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Diese Bedingung lässt sich mit ε = 5 · 10^–6 wie folgt formulieren: $${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \cdot N}{p}> 1.64^2 = 2.69$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N > \frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25 \cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.08 \cdot 10^{7}} = 10.8 \, {\rm Millionen}\hspace{0.05cm}.$$