Exercise 1.2: Bit Error Rate

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Tabelle der Gaußsche Fehlerfunktionen

Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein BSC–Modell (Binary Symmetrical Channel) mit Fehlerwahrscheinlichkeit $p$ angenähert werden kann.

Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge $ \langle v_\nu \rangle $ mit der Quellensymbolfolge $ \langle q_\nu \rangle $ vergleicht und daraus die Fehlerfolge $ \langle e_\nu \rangle $ ermittelt. Dabei gilt:

$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} v_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}, \\ v_\nu \ne q_\nu . \\ \end{array}$$ Die Bitfehlerquote (englisch: Bit Error Rate) ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p$:

$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$

Je größer der Simulationsparameter $N$ gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.

Aus der Aufgabe 3.7 im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße „BER” eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit dem Mittelwert $p$ und der Streuung $\sigma$ angenähert werden kann:

$$\sigma = \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Gaußverteilte_Zufallsgrößen im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
• In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen ${\rm \phi}(x)$ und ${\rm Q}(x)$ angegeben.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Was beschreibt BER im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

	BER ist eine Wahrscheinlichkeit.
	BER ist eine relative Häufigkeit.
	Wenn N hinreichend groß ist, stimmt BER mit p exakt überein.

2

Berechnen Sie die Streuung σ für N = 10⁶ und p = 10^–2.

$p = 10^{-2}: σ\ =\ $ $\ \cdot 10^{ -4 }\ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als 5% von der Wahrscheinlichkeit p = 0.01 abweicht?

$ p = 10^{-2}: Pr(|BER – p| > 0.05 · p)$ = $\cdot 10^{ -6 }\ $

4

Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit p = 10^–4?

$p = 10^{-4}: Pr(|BER – p| > 0.05 · p)$ =

5

Wie groß müsste man N mindestens wählen, damit bei p = 10^–4 nicht mehr als 10% außerhalb des Intervalls von 0.95 · 10^–4 ... 1.05 · 10^–4 liegen?

$ p = 10^{-4}: Nmin$ = $\cdot 10^{ 6 }\ $

Musterlösung

Solution

(1) BER ist als Quotient aus der Anzahl n_B der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl N aller simulierten Symbole und damit tatsächlich als relative Häufigkeit definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass BER = p gilt, ist stets genau 0, da BER eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt. Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass BER in einem schmalen Intervall um p liegt, mit steigendem N immer größer. Trotzdem gilt: Richtig ist nur die zweite Aussage.

(2) Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße BER ergibt sich mit p = 10^–2 und N = 10⁶ zu $$\sigma = \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$ (3) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerrate (kurz BER) einen Wert außerhalb des Bereichs von 0.95 · p und 1.05 · p annimmt, kann mit ε = 5 · 10^–4 (wegen p = 0.01) wie folgt berechnet werden: $${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right) = {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right) = {\rm Q} \left({\varepsilon}/{\sigma} \right)$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER} - p| > \varepsilon \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.574 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Mit p = 10^–4 gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit: $${\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right)\hspace{0.05cm}.$$ $$\sigma \approx \sqrt{{ p}/{N}}= 10^{-5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}:$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right) = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Diese Bedingung lässt sich mit ε = 5 · 10^–6 wie folgt formulieren: $${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \cdot N}{p}> 1.64^2 = 2.69$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N > \frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25 \cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.08 \cdot 10^{7}} = 10.8 \, {\rm Millionen}\hspace{0.05cm}.$$