Exercise 1.2Z: Bit Error Measurement

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Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{N_0}}\right)$$ eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER) $$h_{\rm B} = \frac {n_{\rm B}}{N}$$ simulativ ermittelt. Oftmals wird h_B auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.

In obigen Gleichungen bedeuten

• E_B : Energie pro Bit,
• N₀ : AWGN–Rauschleistungsdichte,
• n_B : Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,
• N : Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit N = 64000, N = 128000 und N = 1.6 Millionen. Die letzte mit N → ∞ benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit p_B wieder.

Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:

• Die Bitfehlerhäufigkeit h_B ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert m_h = p_B und der Varianz σ_h² ≈ p_B/N.
• Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt

$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$

• Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl n_B der gemessenen Bitfehler mindestens 100 sein sollte.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Lehrstoff von Kapitel 1.2 .

Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von N.
	Je größer N ist, desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.
	Je größer N ist, desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.

2

Geben Sie die Streuung σ_h für verschiedene N an. 10 · lg E_B/N₀ = 0 dB.

$N = 64.000: σ_h$ = $\cdot 10^{ -3 }\ $

$N = 1.600.000: σ_h $ = $\cdot 10^{ -4 }\ $

3

Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für 10 · lg E_B/N₀ = 0 dB?

$N = 64.000: ε_{rel} $= $\% $

$N = 1.600.000: ε_{rel} $= $\% $

4

Geben Sie die Streuung σ_h für verschiedene N an. 10 · lg E_B/N₀ = 9 dB.

$N = 64.000: σ_h $= $\cdot 10^{ -5 }\ $

$N = 1.600.000: σ_h $= $\cdot 10^{ -6 }\ $

5

Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für 10 · lg E_B/N₀ = 9 dB?

$N = 64.000: ε_{rel} $= $\% $

$N = 1.600.000: ε_{rel} $= $\% $

6

Bis zu welchem (logarithmischen) E_B/N₀–Wert ist N = 1.6 Millionen aufgrund der Bedingung $n_B$ $\ge$ 100 ausreichend?

Maximum für 10 · lg $EB/N0 $= $dB $

Musterlösung

Solution

(1) Natürlich wird die Genauigkeit der BER–Messung durch den Parameter N in starkem Maße beeinflusst. Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER–Messung, wie z. B. die Ergebnisse für 10 · lg E_B/N₀ = 6 dB zeigen: Bei N = 64000 (h_B = 0.258 · 10^–2) ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert 0.239 · 10^–2 geringer als bei N = 128000 (h_B = 0.272 · 10^–2). Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag: Im statistischen Mittel wird die BER–Messung natürlich besser, wenn man N erhöht: Nur die Aussage 2 trifft zu.

(2) Bei 10 · lg E_B/N₀ = 0 dB, also E_B = N₀, erhält man folgende Werte: $$N=64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.2 \cdot10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Hierfür ergeben sich mit 10 · lg E_B/N₀ = 0 dB folgende Werte: $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}} = \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$

(4) Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als unter (2): $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$ $$ N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 4.6 \cdot10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$ (5) Trotz der deutlich kleineren Streuung σ_h ergeben sich für 10 · lg E_B/N₀ = 9 dB aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für 10 · lg E_B/N₀ = 0 dB: $$N = 64000{\rm :} \hspace{0.52cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$ $$N = 1600000{\rm :} \hspace{0.2cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$ (6) Die Anzahl n_B der gemessenen Bitfehler sollte mindestens 100 betragen. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen): $$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$ Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für 10 · lg E_B/N₀ = 8 dB noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind (n_B = 315), während für 10 · lg E_B/N₀ = 9 dB im Mittel nur mehr n_B = 52 Fehler zu erwarten sind. Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.