Exercise 1.4: Nyquist Criteria
Durch die Skizze gegeben ist das Spektrum $G(f)$ des Detektionsgrundimpulses, wobei der Parameter $A$ noch zu bestimmen ist. Überprüft werden soll unter Anderem, ob dieser Detektionsgrundimpuls eines der beiden Nyquistkriterien erfüllt. Diese lauten:
- Das erste Nyquistkriterium ist erfüllt, wenn für die Spektralfunktion gilt:
- $$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - \frac{k}{T} ) = {\rm const.}$$
In diesem Fall besitzt der Impuls $g(f)$ für alle ganzzahligen Werte von $ν$ mit Ausnahme von $ν = 0$ Nulldurchgänge bei $t = νT$. Für die gesamte Aufgabe wird $T = 0.1 \ \rm ms$ vorausgesetzt.
- Ist das zweite Nyquistkriterium erfüllt, so hat $g(f)$ Nulldurchgänge bei $\pm 1.5 T$, $\pm 2.5 T$, usw.
Hinweis:
Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Eigenschaften von Nyquistsystemen dieses Buches. Als bekannt vorausgesetzt werden:
- $$X(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| > f_0 \hspace{0.08cm} \\ \end{array} \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} x(t) =2 \cdot A \cdot f_0 \cdot {\rm si}(2 \pi f_0 T) \hspace{0.05cm},$$
- $$\sin(\alpha) \cdot \cos (\beta) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f - \frac{k}{T} ) \hspace{0.05cm}.$$
Die Laufvariable $k = 0$ gibt die ursprüngliche Spektralfunktion $G(f)$ an. Diese ist grau gefüllt. Das um den Wert $1/T = 10\ \rm kHz$ nach rechts verschobene Spektrum gehört zu $k = 1$ und ist grün markiert, während $k = -1$ zur gelb hinterlegten Funktion führt. Die roten und blauen Flächen, jeweils zusätzlich schraffiert, kennzeichnen die Beiträge der Laufvariablen $k = 2$ und $k = - 2.$
Man erkennt, dass $G_{\rm Per}(f)$ konstant ist. Daraus folgt, dass das erste Nyquistkriterium erfüllt ist
(2) Aufgrund der Fourierintegrale gilt folgender Zusammenhang:
- $$g(t=0) = \int_{-\infty}^{\infty}G(f) \,{\rm d} f = A \cdot ( 2\,{\rm kHz}+6\,{\rm kHz}+2\,{\rm kHz})= A \cdot 10\,{\rm kHz}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \frac{g(t=0)}{10\,{\rm kHz}} = \frac{2\,{\rm V}}{10\,{\rm kHz}} \hspace{0.1cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-4}\, {\rm V/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Es gelte $g(t) = g_{1}(t) +g_{2}(t)$, wobei $g_{1}(t)$ die Spektralanteile im Intervall $\pm 3 \ \rm kHz$ beinhaltet und
$g_{2}(t)$ diejenigen zwischen $13 \ \rm kHz$ und 15 kHz (und zwischen $-13 \ \rm kHz$ und $-15 \ \rm kHz$). Mit der angegebenen Fourierkorrespondenz lauten die beiden Anteile:
- $$g_1(t) \ = \ A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$
- $$g_2(t) \ = \ A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot{\rm si}(\pi \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot t) \cdot 2 \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot 14\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
Die zweite Gleichung folgt aus der Beziehung:
- $$G_2(f) = \left[ \delta(f + 14\,{\rm kHz}) + \delta(f - 14\,{\rm kHz})\right] \star \left\{ \begin{array}{c} A \\ 0 \\\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < 1\,{\rm kHz} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| > 1\,{\rm kHz} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Die Grafik zeigt den numerisch ermittelten Zeitverlauf $g(t)$. Für den Zeitpunkt $t = T = 0.1\ \rm ms$ (gelbes Quadrat) erhält man:
- $$g_2(t = T ) \ = \ 2A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.2 \cdot \pi )\cdot \cos (2.8 \cdot \pi) \ = \ \frac{ A \cdot 4\,{\rm kHz}}{0.2 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(0.2 \cdot \pi )\cdot\cos (0.8 \cdot \pi) =\\ \ = \ \frac{ A \cdot 10\,{\rm kHz}}{ \pi}\cdot [{\rm sin}(-0.6 \cdot \pi)+ {\rm sin}(\pi)] = -\frac{ A \cdot 10\,{\rm kHz}}{ \pi}\cdot {\rm sin}(0.6 \cdot \pi)$$
- $$g_1(t = T ) = A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.6 \cdot \pi )= \frac{ A \cdot 6\,{\rm kHz}}{0.6 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(0.6 \cdot \pi )= - g_2(t = T )$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g(t = T ) = g_1(t = T ) + g_2(t = T )\hspace{0.1cm}\underline {= 0 } \hspace{0.05cm}.$$
Dieses Ergebnis ist aufgrund der Nyquisteigenschaft nicht überraschend.
(4) Für $t = 2.5 T$ (grünes Quadrat) erhält man folgende Teilergebnisse:
- $$g_1(t = 2.5 T ) = A \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(1.5 \cdot \pi )= \frac{ A \cdot 6\,{\rm kHz}}{1.5 \cdot \pi}\cdot {\rm sin}(1.5 \cdot \pi )= - \frac{ A \cdot 4\,{\rm kHz}}{ \pi}\hspace{0.05cm},$$
- $$g_2(t = 2.5 T ) = 2A \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot {\rm si}(0.5 \cdot \pi )\cdot \cos (7 \cdot \pi)=- \frac{ A \cdot 8\,{\rm kHz}}{ \pi} $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} g(t = 2.5 T ) = g_1(t = 2.5 T ) +g_2(t = 2.5 T ) = - \frac{ A \cdot 12\,{\rm kHz}}{ \pi} \hspace{0.05cm}.$$
Berücksichtigt man $g(t = 0) = A \cdot 10 \ \rm kHz$, so ergibt sich:
- $$\frac{g(t = 2.5 T )}{g(t = 0)} = -\frac{ 1.2}{ \pi} \hspace{0.1cm}\underline {= -0.382 } \hspace{0.05cm}.$$
(5) Das zweite Nyquistkriterium besagt, dass der Nyquistimpuls $g(t)$ Nulldurchgänge bei $\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ besitzt. Nach dem Ergebnis aus (4) ist diese Bedingung hier nicht erfüllt. Richtig ist demzufolge der Lösungsvorschlag 2.
