Exercise 4.08: Decision Regions at Three Symbols

Signalraumkonstellationen mit M = 3

Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum ($N = 2$) mit der Signalmenge:

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

jeweils bezogen auf den Normierungswert $E^{\rm 1/2}$.

Gesucht sind hierzu die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:

Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).
Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich
Die Regionen sollen so bestimmt werden, dass sich beispielsweise für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.

Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, i ≠ k$).

Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:

$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false