Exercise 4.09Z: Laplace Distributed Noise

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2D–Laplace–WDF

Wir betrachten zweidimensionales Rauschen $\boldsymbol{n} = (n_1, n_2)$.

Die beiden Rauschvariablen sind „independent and identically distributed”, abgekürzt i.i.d., und besitzen beide jeweils eine Laplace–Wahrscheinlichkeitsdichte:

$$p_{n_1}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} |x|} \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{n_2}(y) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} |y|} \hspace{0.05cm}. $$

Die 2D–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $p_{\it \boldsymbol{n}}(x, y)$ ist in der Grafik dargestellt. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden hier die Realisierungen von $n_1$ und $n_2$ mit $x$ und $y$ bezeichnet.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
• Beachten Sie bitte, dass in Teilaufgabe (6) das sich ergebende Integral aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden muss.
• Weiterhin gilt:

$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Wie groß ist die Konstante $K$ der 1D–WDF?

	$K = 1$.
	$K = a/2$
	$K = 1/a$.

2

Es sei $a = 1$. Wie groß sind der Mittelwert ${\rm E}[n_i]$ und die Varianz $\sigma^2 = {\rm E}[n_i^2]$ der beiden 1D–Zufallsgrößen? ($i = 1, 2$)

${\rm E}[n_i]$ =

$\sigma^2 = {\rm E}[n_i]$ =

3

Welche Form haben die Höhenlinien der 2D–WDF im ersten Quadranten?

	Es sind Geraden.
	Es sind Hyperbeln.
	Es sind Kreise.

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl $n_1$ als auch $n_2$ negativ sind?

$a = 1 \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)]$ =

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $n_1$ und $n_2$ jeweils größer als $1$ sind?

$a = 1 \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}[(n_1 > 1) ∩ (n_2 > 1)]$ =

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $n_1 + n_2 > 2$ ist?

$\alpha = 1 \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr}[n_1 + n_2 > 2)]$ =

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)