Exercise 4.14: 8-PSK and 16-PSK
Betrachtet wird nun eine Signale $s_i(t)$, die auf den Zeitbereich $0 ≤ t ≤ T$ begrenzt ist. Der Index $i$ durchläuft die Werte $0, \ ... \ , M–1$:
- $$s_i(t) = A \cdot \cos \left ( 2\pi f_{\rm T}t + { 2\pi }/{ M} \cdot i \right ) \hspace{0.05cm}.$$
Es handelt sich hierbei um eine Phasenmodulation mit $M$ Signalformen. Man nennt dieses Modulationsverfahren auch M–PSK. $M$ ist meist eine Zweierpotenz.
Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellation für $M = 8$ (oben) und $M = 16$ (unten). Alle Signalraumpunkte haben gleiche Energie $||\boldsymbol{s}_i||^2 = E_{\rm S}$ („mittlere Symbolenergie”).
Die exakte Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit ist für $M ≠ 2$ schwierig. Angegeben werden kann dagegen stets die sogenannte Union Bound als obere Schranke für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ($p_{\rm UB} ≥ p_{\rm S}$):
- $$ p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) = 2 \cdot {\rm Q} \left (\sqrt{ \frac{ d^2}{ 2 N_0}}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnen:
- $d$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, zum Beispiel zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$. Verläuft die Entscheidungsgrenze senkrecht zur Verbindungslinie von $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ genau mittig, so ist $d/2$ der Abstand von $\boldsymbol{s}_0$ bzw. $\boldsymbol{s}_1$ von dieser Entscheidungsgrenze.
- Die Varianz des AWGN–Rauschens ist $\sigma_n^2 = N_0/2$.
- Der Faktor $2$ in obiger Grenze berücksichtigt, dass für $M > 2$ jeder Signalraumpunkt in zwei Richtungen verfälscht werden kann, zum Beispiel bei der 8–PSK das Symbol $\boldsymbol{s}_0$ in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$ oder in das Symbol $\boldsymbol{s}_7$.
- ${\rm Q}(x)$ ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion, für die folgende Näherung gilt:
- $${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
In der letzten Teilaufgabe geht es um die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. Für diese wurde im Theorieteil unter der Voraussetzung eines Graycodes folgende Schranke angegeben:
- $$p_{\rm B} \le \frac{2}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M)} \cdot \sin ({ \pi}/{ M}) \cdot \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Diese Gleichung ist allerdings nur für $M > 4$ anzuwenden. Dagegen ergibt sich
- für $M = 2$ aus der Identität mit der BPSK, und
- für $M = 4$ aus der Tatsache, dass die 4–PSK mit der 4–QAM identisch ist,
die exakte Lösung
- $$p_{\rm B} ={\rm Q} \left ( \sqrt{ { {2E_{\rm B}}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Trägerfrequenzen mit kohärenter Demodulation und bezieht sich insbesondere auf die Seite 7.
- Bei der Lösung der Aufgabe können Sie folgende Gleichungen verwenden:
- $$\cos(\alpha + \beta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(\alpha ) \cdot \cos( \beta) - \sin(\alpha ) \cdot \sin( \beta)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.25cm} 1 - \cos(2\alpha ) = \sin^2(\alpha )\hspace{0.05cm},$$
- $$ \int_{0}^{T} \cos^2 ( 2\pi f_{\rm T}t) \,{\rm d} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm falls}\hspace{0.15cm} f_{\rm T} >> 1/T \hspace{0.05cm}.$$
- Die Zuordnung der 8 bzw. 16 Symbole zu Binärfolgen der Länge 3 bzw. 4 nach der Graycodierung kann der Grafik entnommen werden (rote Beschriftung).
Fragebogen
Musterlösung
