Exercise 5.3: AWGN and BSC Model

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AWGN–Kanal und BSC–Modell

Die Grafik zeigt oben das analoge Kanalmodell eines digitalen Übertragungssystems, wobei das additive Rauschsignal $n(t)$ mit der Rauschleistungsdichte $N_0/2$ wirksam ist. Es handelt sich um AWGN–Rauschen. Die Varianz des Rauschanteils vor dem Entscheider (nach dem Matched–Filter) ist dann

$$\sigma^2 = \frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}.$$

Weiter soll gelten:

• Es treten keine Impulsinterferenzen auf. Wurde das Symbol $q_{\nu} = \mathbf{H}$ gesendet, so ist der Nutzanteil des Detektionssignal gleich $+s_0$, bei $q_{\nu} = \mathbf{L}$ dagegen $–s_0$.
• Der Schwellenwertentscheider berücksichtigt eine Schwellendrift, das heißt, die Schwelle E kann durchaus vom Optimalwert $E = 0$ abweichen. Die Entscheidungsregel lautet:

$$\upsilon_\nu = \left\{ \begin{array}{c} \mathbf{H} \\ \mathbf{L} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}d (\nu \cdot T) > E \hspace{0.05cm}, \\ {\rm falls} \hspace{0.15cm} d (\nu \cdot T) \le E\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

• Mit dem Schwellenwert $E = 0$ ergibt sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu

$$p_{\rm M} = {\rm Q} \left ( {s_0}/{\sigma} \right ) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

Die untere Grafik zeigt ein digitales Kanalmodell, das durch die vier Übergangswahrscheinlichkeiten $p_1, p_2, p_3$ und $p_4$ charakterisiert ist. Dieses soll an das analoge Kanalmodell angepasst werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe beschreibt das Themengebiet des Kapitels Binary Symmetric Channel (BSC).
• Zahlenwerte der so genannten Q–Funktion können Sie mit dem folgenden Interaktionsmodul ermitteln: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

1

Welcher Quotient $s_0/\sigma$ liegt dieser Aufgabe zugrunde?

$s_0/\sigma\ = \ $

2

Für die Schwelle gelte $E = 0$. Ist das vorliegende digitale Übertragungssystem durch das BSC–Modell beschreibbar, unter der Voraussetzung,

	dass die Quellensymbole $\mathbf{L}$ und $\mathbf{H}$ gleichwahrscheinlich sind,
	dass das Quellensymbol $\mathbf{L}$ deutlich häufiger auftritt als $\mathbf{H}$?.

3

Berechnen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten für $E = +s_0/4$.

$p_1 \ = \ $

$p_2 \ = \ $

$p_3 \ = \ $

$p_4 \ = \ $

4

Nun gelte $E = +s_0/4$. Ist das vorliegende digitale Übertragungssystem durch das BSC–Modell beschreibbar, unter der Voraussetzung,

	dass die Quellensymbole $\mathbf{L}$ und $\mathbf{H}$ gleichwahrscheinlich sind,
	dass das Quellensymbol $\mathbf{L}$ deutlich häufiger auftritt als $\mathbf{H}$?.

5

Es gelte $p_{\rm L} = {\rm Pr}(q_{\nu} = \mathbf{L})$ und $p_{\rm H} = {\rm Pr}(q_{\nu} = \mathbf{H})$. Welche der folgenden Aussagen sind dann für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zutreffend?

	$p_{\rm M}$ ist beim BSC–Modell ($E = 0$) unabhängig von $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$.
	$p_{\rm M}$ ist beim BSC–Modell ($E = 0$) für $p_{\rm L} = p_{\rm H}$ am kleinsten.
	Für $p_{\rm L} = 0.9$, $p_{\rm H} = 0.1$ und $E = +s_0/4$ ist $p_{\rm M}$ kleiner als $1\%$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)