Exercise 5.7Z: McCullough Model once more

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Fehlerabstandsverteilung und -korrelationsfunktion von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell

Wir betrachten wie auch in den Aufgaben A5.6, Z5.6 und A5.7 das Bündelfehler–Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE–Modell) mit den Kenngrößen

$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001, \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,$$

$$ p(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC–Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich

• exakt gleiche Fehlerabstandsverteilung $V_a(k)$,
• exakt gleiche Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$.

Die Wahrscheinlichkeiten des MC–Modells wurden in der Aufgabe A5.7 wie folgt ermittelt (Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe A5.7, alle mit „$q$” anstelle von „$p$”):

$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061, \hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,$$

$$ q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5528, \hspace{0.2cm} q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$

Die obere Grafik zeigt die aus $N = 10^6$ Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen $V_a(k)$ und $\varphi_e(k)$ für das GE– und das MC–Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für $N → ∞$ stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.

In dieser Aufgabe sollen nun wichtige Beschreibungsgrößen wie Zustandswahrscheinlichkeiten, mittlere Fehlerwahrscheinlichkeiten und Korrelationsdauer direkt aus den $q$–Parametern des MC–Modells ermittelt werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Bündelfehlerkanäle.
• Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:

1. - Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind

$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G }\hspace{0.05cm}.$$

1. - Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE–Modells beträgt

$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B} = \varphi_{e}(k = 0 )\hspace{0.05cm}.$$

1. - Die Korrelationsdauer des GE–Modells berechnet sich zu

$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )}-1 \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten $\alpha_G$ und $\alpha_B$, dass sich das MC–Modell im Zustand „G” bzw. im Zustand „B” befindet.

$\alpha_{\rm G} \ = \ $

$\alpha_{\rm B} \ = \ $

2

Ermitteln Sie den mittleren Fehlerabstand des MC–Modells.

${\rm E}[a] \ = \ $

3

Wie groß ist der FKF–Wert für $k = 0$?

$\varphi_e(k = 0) \ = \ $

4

Geben Sie die Fehlerkorrelationsdauer $D_{\rm K}$ als Funktion der MC–Parameter $q_{\rm G}, q_{\rm B}, q(\rm G|B)$ und $q(\rm B|G)$ an. Welches Ergebnis ist richtig?

	$D_{\rm K} = [q({\rm B|G}) + q({\rm G|B})]^{–1} \ –1$,
	$D_{\rm K} = [q_{\rm G} \cdot q({\rm G|B}) + q_{\rm B} \cdot q({\rm G|B})]^{–1} \ –1$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)