Exercise 3.1Z: Convolution Codes of Rate 1/2

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Zwei Faltungscodes der Rate 1/2

Die Grafik zeigt zwei Faltungscodierer der Rate $R = 1/2$. Am Eingang liegt die Informationssequenz $\underline {u} = (u_1, u_2, \ ... \ , u_i, \ ...$) an. Hieraus werden durch Modulo–2–Operationen die beiden Sequenzen

$$\underline{\it x}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(1)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_i^{(1)} \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \big )\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{\it x}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( \hspace{0.05cm}x_1^{(2)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_2^{(2)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} x_i^{(2)} \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \big )$$

erzeugt, wobei $x_i^{(j)}$ mit $j = 1$ bzw. $j = 2$ außer von $u_i$ auch von den vorherigen Informationsbits $u_{i–1}, \ ... \ , u_{i–m}$ abhängen kann. Man bezeichnet $m$ als das Gedächtnis und $\nu = m + 1$ als die Einflusslänge des Codes bzw. des Codierers. Die betrachteten Coder A und B unterscheiden sich hinsichtlich dieser Größen.

In der Grafik nicht dargestellt ist das Multiplexen der beiden Teilsequenzen $\underline {x}^{(1)}$ und $\underline {x}^{(2)}$ zur resultierenden Codesequenz $\underline {x} = (x_1^{(1)}, x_1^{(2)}, x_2^{(1)}, x_2^{(2)}, \ ...)$.

In den Teilaufgaben (3) bis (5) sollen Sie den jeweiligen Beginn der Sequenzen $\underline {x}^{(1)}, \underline{x}^{(2)}$ und $\underline{x}$ ermitteln, wobei von der Informationssequenz $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ ...)$ auszugehen ist.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Themengebiet des Kapitels Grundlagen der Faltungscodierung.

Fragebogen

1

In welchen Codeparametern unterscheiden sich Coder A und Coder B?

	$k$: Anzahl der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
	$n$: Anzahl der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
	$m$: Gedächtnisordnung des Codes bzw. des Coders,
	$\nu$: Einflusslänge des Codes.

2

Welcher Coder weist das Gedächtnis $m = 2$ auf?

	Coder A,
	Coder B.

3

Wie lautet die Teilcodesequenz $\underline {x}^{(1)}$ von Coder B für $\underline {u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ ...)$?

	$\underline {x}^{(1)} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, \ ...)$,
	$\underline {x}^{(1)} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \ ...)$.

4

Wie lautet die Teilcodesequenz $\underline{x}^{(2)}$ von Coder B für $\underline {u} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, \ ...)$

	$\underline{x}^{(2)} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, \ ...)$,
	$\underline{x}^{(2)} = (1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, \ ...)$.

5

Wie beginnt die gesamte Codesequenz $\underline {x}$ von Coder B nach Multiplexing?

	$\underline {x} = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, \ ...)$,
	$\underline {x} = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, \ ...)$.

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)