Exercise 3.7Z: Which Code is Catastrophic?

Codierer und Zustandsübergangsdiagramm für $m = 3$

Die nebenstehende Grafik zeigt

zwei unterschiedliche Coder A und Coder B, jeweils mit dem Gedächtnis $m = 3$ (oben),
zwei Zustandsübergangsdiagramme, bezeichnet mit Diagramm 1 und Diagramm 2 (unten).

In der letzten Teilaufgabe sollen Sie entscheiden, welches Diagramm zum Coder A gehört und welches zum Coder B.

Zunächst werden die drei Übertragungsfunktionen

$G(D) = 1 + D + D^2 + D^3$,
$G(D) = 1 + D^3$, und
$G(D) = 1 + D + D^3$

analysiert und anschließend die Ausgangssequenzen $\underline{x}$ unter der Voraussetzung

$$\underline{u}= \underline{1}= (1, 1, 1, ... \hspace{0.1cm}) \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} U(D)= \frac{1}{1+D}$$

berechnet. Diese Übertragungsfunktionen stehen im direkten Zusammenhang mit den skizzierten Codierern.

Desweiteren ist noch zu klären, welcher der beiden Codes katastrophal ist. Von einem solchen spricht man, wenn eine endliche Anzahl von Übertragungsfehlern zu unendlich vielen Decodierfehlern führt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm-
Angegeben werden noch zwei Polynomprodukte in ${\rm GF}(2)$:

$$(1+D) \cdot (1+D^2) \hspace{-0.25cm} \ = \ \hspace{-0.25cm}1+D +D^2+D^3\hspace{0.05cm},$$

$$(1+D) \cdot (1+D+D^2) \hspace{-0.25cm} \ = \ \hspace{-0.25cm}1+D^3\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Die $D$–Transformierte der Codesequenz $\underline{x}$ ergibt sich mit $U(D) = 1/(1+ D)$ zu

$$X(D)= \frac{1+D +D^2+D^3}{1+D}= 1 +D^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}= (1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm})\hspace{0.05cm}.$$

Zutreffend sind die Antworten 2 und 4. Berücksichtigt wurde $(1 + D) \cdot (1 + D^2) = 1 + D + D^2 + D^3$.

(2) Wegen $(1 + D) \cdot (1 + D + D^2) = 1 + D^3$ sind hier die Lösungsvorschläge 3 und 4 zutreffend:

$$X(D)= \frac{1+D^3}{1+D}= 1 +D + D^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}= (1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm})\hspace{0.05cm}.$$

(3) Die Polynomdivision $(1 + D + D^3)$ durch $(1 + D)$ ist im binären Galoisfeld nicht ohne Rest möglich. Man erhält $X(D) = 1 + D^3 + D^4 + D^5 + \ ... \ $ und damit die Ausgangssequenz $\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$, die sich bis ins Unendliche erstreckt. Richtig ist somit allein der Lösungsvorschlag 1.

(4) Die Übertragungsfunktionsmatrix von Coder A lautet:

$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}(D)= \left (1 +D + D^3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 1+D +D^2+D^3 \right ) \hspace{0.05cm}.$$

Das jeweils erste Codebit ist deshalb durch die Sequenz entsprechend Teilaufgabe (3) gegeben und das zweite Bit durch die Sequenz entsprechend Teilaufgabe (1):

$$\underline{x}^{(1)}\hspace{-0.15cm} &=&\hspace{-0.15cm} (1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm})\hspace{0.05cm}, $$

$$\underline{x}^{(2)}\hspace{-0.15cm} &=&\hspace{-0.15cm} (1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm})$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}= (11,\hspace{0.05cm} 00,\hspace{0.05cm} 01,\hspace{0.05cm} 10,\hspace{0.05cm} 10,\hspace{0.05cm} 10,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.1cm})\hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht dem Lösungsvorschlag 1.

(5)

(6)

	$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$,
	$\underline{x} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$,
	$\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.
	Die Ausgangsfolge $\underline{x}$ ist zeitlich begrenzt.

	$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$,
	$\underline{x} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$,
	$\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$,
	Die Ausgangsfolge $\underline{x}$ ist zeitlich begrenzt.

	$\underline{x} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, ...)$,
	$\underline{x} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$,
	$\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$,
	Die Ausgangsfolge $\underline{x}$ ist zeitlich begrenzt.

	$\underline{x} = (11, \, 00, \, 01, \, 10, \, 10, \, 10, \, ...)$,
	$\underline{x} = (11, \, 10, \, 11, \, 00, \, 00, \, 00, \, ...)$,
	$\underline{x} = (11, \, 11, \, 11, \, 11, \, 11, \, 11, \, ...)$.
	Die Codesequenz $\underline{x}$ beinhaltet endlich viele Einsen.

	$\underline{x} = (11, \, 00, \, 01, \, 10, \, 10, \, 10, \, ...)$,
	$\underline{x} = (11, \, 10, \, 11, \, 00, \, 00, \, 00, \, ...)$,
	$\underline{x} = (11, \, 11, \, 11, \, 11, \, 11, \, 11, \, ...)$.
	Die Codesequenz $\underline{x}$ beinhaltet endlich viele Einsen.

	Zu Coder B gehört das Zustandsübergangsdiagramm 1.
	Zu Coder B gehört das Zustandsübergangsdiagramm 2.
	Der Coder B ist katastrophal.