Exercise 3.14: Error Probability Bounds

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Unvollständige Tabelle für Bhattacharyya– und Viterbi–Schranke

Für den häufig verwendeten Faltungscode mit

• der Coderate $R = 1/2$,
• dem Gedächtnis $m = 2$,
• der Übertragungsfunktionsmatrix

$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( 1 + D + D^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1 + D^2 \hspace{0.05cm}\big ) $$

lautet die erweiterte Pfadgewichtsfunktion:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{UX^5}{1- 2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X} \hspace{0.05cm}.$$

Mit der schon häufiger benutzten Reihenentwicklung $1/(1 \, –x) = 1 + x + x^2 + \ ... $ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$T_{\rm enh}(X, U) = U X^5 \cdot \left [ 1 + (2 \hspace{0.05cm}U \hspace{-0.05cm}X) + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^2 + (2 \hspace{0.05cm}U\hspace{-0.05cm}X)^3 + ... \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Die „einfache” Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ ergibt sich daraus, wenn man die zweite Variable $U = 1$ setzt.

Anhand dieser Funktionen können Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken angegeben werden:

• Die Burstfehlerwahrscheinlichkeit wird durch die Bhattacharyya–Schranke begrenzt:

$${\rm Pr(Burstfehler)} \le {\rm Pr(Bhattacharyya)} = T(X = \beta) \hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit stets kleiner (oder gleich) der Viterbi–Schranke:

\[{\rm Pr(Bitfehler)} \le {\rm Pr(Viterbi)} = \left [ \frac {\rm d}{ {\rm d}U}\hspace{0.2cm}T_{\rm enh}(X, U) \right ]_{\substack{X=\beta \\ U=1} } \hspace{0.05cm}.\]

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
• Der Bhattacharyya–Parameter für BSC lautet:

$$\beta = 2 \cdot \sqrt{\varepsilon \cdot (1- \varepsilon)}$$

• In obiger Tabelle sind für einige Werte des BSC–Parameters $\epsilon$ angegeben:
  • der Bhattacharyya–Parameter $\beta$,
  • die Bhattacharyya–Schranke ${\rm Pr}(\rm Bhattacharyya)$, und
  • die Viterbi–Schranke $\rm Pr(Viterbi)$.
• Im Verlauf dieser Aufgabe sollen Sie die entsprechenden Größen für $\epsilon = 10^{–2}$ und $\epsilon = 10^{–4}$ berechnen.
• Die vollständige Tabelle finden Sie dann in der Musterlösung.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welcher Bhattacharyya–Parameter ergibt sich für das BSC–Modell?

$\epsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.2cm} \beta \ = \ $

$\epsilon = 10^{–4} \text{:} \hspace{0.2cm} \beta \ = \ $

2

Wie lautet die Bhattacharyya–Schranke?

$\epsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ $ $\ \cdot 10^{–4}

$\epsilon = 10^{–4} \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ $ $\ \cdot 10^{–9}

3

Wie lautet die Viterbi–Schranke?

$\epsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ $ $\ \cdot 10^{–4}

$\epsilon = 10^{–2} \text{:} \hspace{0.2cm} {\rm Pr(Viterbi)} \ = \ $ $\ \cdot 10^{–9}

4

Für welche Werte $\epsilon < \epsilon_0$ sind die beiden Schranken nicht anwendbar?

$\epsilon_0 \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)