Dämpfung von Kupferkabeln

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Programmbeschreibung

Dieses Applet berechnet die Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ von leitungsgebundene Übertragungsmedien (jeweils der der Länge $l$):

• Für Koaxialkabel verwendet man meist die Gleichung $a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l$.
• Dagegen werden Zweidrahtleitungen oft in der Form $a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l$ dargestellt.
• Realisiert ist auch die Umrechnung der $(k_1, \ k_2, \ k_3)$–Darstellung in die $(\alpha_0, \ \alpha_1, \ \alpha_2)$–Form für $B = 30 \ \rm MHz$ (und umgekehrt).

Außer der Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ können graphisch dargestellt werden:

• der zugehörige Betragsfrequenzgang $\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20},$
• der Entzerrer–Frequenzgang $\left | H_{\rm E}(f)\right | = \left | H_{\rm CRO}(f) / H_{\rm K}(f)\right | $, der zu einem Nyquist–Gesamtfrequenzgang $ H_{\rm CRO}(f) $ führt,
• der entsprechende Betrags–Quadrat–Frequenzgang $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $.

Das Integral über $\left | H_{\rm E}(f)\right |^2 $ ist ein Maß für die Rauschüberhöhung des ausgewählten Nyquist–Gesamtfrequenzgangs und damit auch für zu erwartende Bitfehlerwahrscheinlichkeit.

und graphische Darstellung

• der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=\mu)$ einer diskreten Zufallsgröße $z \in \{\mu \} = \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, welche die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) – im Englischen Probability Density Function (PDF) – der Zufallsgröße $z$ bestimmen – hier Darstellung mit Diracfunktionen ${\rm \delta}( z-\mu)$:

$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$

• der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \le \mu)$ der Verteilungsfunktion (VTF) – im Englischen Cumulative Distribution Function (CDF):

$$F_{z}(\mu)={\rm Pr}(z\le\mu).$$

Als diskrete Verteilungen stehen in zwei Parametersätzen zur Auswahl:

• die Binomialverteilung mit den Parametern $I$ und $p$   ⇒   $z \in \{0, 1, \text{...} \ , I \}$   ⇒   $M = I+1$ mögliche Werte,
• die Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$   ⇒   $z \in \{0, 1, 2, 3, \text{...}\}$   ⇒   $M \to \infty$.

In der Versuchsdurchführung sollen Sie miteinander vergleichen:

• je zwei Binomialverteilungen mit unterschiedlichen Parameterwerten $I$ und $p$,
• je zwei Poissonverteilungen mit unterschiedlicher Rate $\lambda$,
• jeweils eine Binomial– und eine Poissonverteilung.

Theoretischer Hintergrund

Betragsfrequenzgang und Dämpfungsfunktion

Es besteht folgender Zusammenhang zwischen dem Betragsfrequenzgang und der Dämpfungsfunktion:

$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$

• Der Index „K” soll deutlich machen, dass das betrachtete LZI–System ein Kabel ist.
• Bei der ersten Berechnungsvorschrift ist die Dämpfungsfunktion $a_\text{K}(f)$ in $\rm dB$ (Dezibel) einzusetzen.
• Bei der zweiten Berechnungsvorschrift ist die Dämpfungsfunktion $a_\text{K, Np}(f)$ in $\rm Np$ (Neper) einzusetzen.
• Es gelten folgende Umrechnungen $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ bzw. $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
• In diesem Applet werden ausschließlich die dB–Werte verwendet.

Dämpfungsfunktion eines Koaxialkabels

Die Dämpfungsfunktion eines Koaxialkabels der Länge $l$ wird in [Wel77] wie folgt angegeben:

$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$

• Beachten Sie bitte den Unterschied zwischen der Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ und den „alpha”–Koeffizienten mit anderen Pseudo–Einheiten.
• Die Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f)$ ist direkt proportional zur Kabellänge $l$. Man bezeichnet den Quotienten $a_{\rm K}(f)/l$ als „Dämpfungsmaß” oder „kilometrische Dämpfung”.
• Der frequenzunabhängige Anteil $α_0$ des Dämpfungsmaßes berücksichtigt die Ohmschen Verluste („Leitungsverluste”).
• Der frequenzproportionale Anteil $α_1 · f$ des Dämpfungsmaßes ist auf die Ableitungsverluste („Querverluste”) zurückzuführen.
• Der dominante Anteil $α_2$ geht auf den Skineffekt zurück, der bewirkt, dass bei höherfrequentem Wechselstrom die Stromdichte im Leiterinneren niedriger ist als an der Oberfläche. Dadurch steigt der Widerstandsbelag einer elektrischen Leitung mit der Wurzel aus der Frequenz an.

Die Konstanten für das Normalkoaxialkabel mit 2.6 mm Innendurchmesser und 9.5 mm Außendurchmesser   ⇒  kurz Coax (2.6/9.5 mm) lauten:

$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für das Kleinkoaxialkabel   ⇒  kurz Coax (1.2/4.4 mm):

$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

Diese Werte können aus den geometrischen Abmessungen der Kabel berechnet werden und wurden durch Messungen am Fernmeldetechnischen Zentralamt in Darmstadt bestätigt – siehe [Wel77] . Sie gelten für eine Temperatur von 20°C (293 K) und Frequenzen größer als 200 kHz.

Dämpfungsfunktion einer Zweidrahtleitung

Die Dämpfungsfunktion einer Zweidrahtleitung (englisch: Two–wired Line) der Länge $l$ wird in [PW95] wie folgt angegeben:

$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$

Dieser Funktionsverlauf ist nicht direkt interpretierbar, sondern es handelt sich um eine phänomenologische Beschreibungsform.

Ebenfalls in [PW95]findet man die aus Messergebnissen ermittelten Konstanten für verschiedene Leitungsdurchmesser $d$:

• $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
• $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
• $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
• $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

Man erkennt aus diesen Zahlenwerten:

• Dämpfungsmaß $α(f)$ und Dämpfungsfunktion $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ hängen signifikant vom Leitungsdurchmesser ab. Die seit 1994 verlegten Kabel mit $d = 0.35$ mm und $d = 0.5$ mm haben etwa ein um $10\%$ größeres Dämpfungsmaß als die älteren Leitungen mit $d = 0.4$bzw. $0.6$ mm.
• Dieser mit den Herstellungs– und Verlegungskosten begründete kleinere Durchmesser vermindert allerdings die Reichweite $l_{\rm max}$ der auf diesen Leitungen eingesetzten Übertragungssysteme signifikant, so dass im schlimmsten Fall teuere Zwischenregeneratoren eingesetzt werden müssen.
• Die heute üblichen Übertragungsverfahren für Kupferleitungen belegen allerdings nur ein relativ schmales Frequenzband, zum Beispiel sind dies bei ISDN $120\ \rm kHz$ und bei DSL ca. $1100 \ \rm kHz$. Für $f = 1 \ \rm MHz$ beträgt das Dämpfungsmaß für ein 0.4 mm–Kabel etwa $20 \ \rm dB/km$, so dass selbst bei einer Kabellänge von $l = 4 \ \rm km$ der Dämpfungswert nicht über $80 \ \rm dB$ liegt.

Umrechnung zwischen $k$– und $\alpha$– Parametern

Es besteht die Möglichkeit, die $k$–Parameter des Dämpfungsmaßes   ⇒   $\alpha_{\rm I} (f)$ in entsprechende $\alpha$–Parameter   ⇒   $\alpha_{\rm II} (f)$ umzurechnen:

$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$

$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

Als Kriterium dieser Umrechnung gehen wir davon aus, dass die quadratische Abweichung dieser beiden Funktionen innerhalb einer Bandbreite $B$ minimal ist:

$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$

Es ist offensichtlich, dass $α_0 = k_1$ gelten wird. Die Parameter $α_1$ und $α_2$ sind von der zugrundegelegten Bandbreite $B$ abhängig und lauten:

$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

$\text{Beispiel 1:}$ 

• Für $k_3 = 1$ (frequenzproportionales Dämpfungsmaß) ergeben sich folgerichtig   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
• Für $k_3 = 0.5$ (entsprechend Skineffekt) erhält man folgende Koeffizienten:   $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
• Für $k_3 < 0.5$ ergibt sich ein negatives $\alpha_1$. Umrechnung ist nur für $0.5 \le k_3 \le 1$ möglich.
• Für $0.5 \le k_3 \le$ ergeben sich Koeffizienten $\alpha_1 > 0$ und $\alpha_2 > 0$, die auch von $B/f_0$ abhängen.

Umrechnung in Gegenrichtung

Fehlt noch

Zum Kanaleinfluss auf die binäre Nyquistentzerrung

File:Applet Kabeldämpfung 1.png

Vereinfachtes Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers

Wir gehen vom skizzierten Blockschaltbild aus. Zwischen der Diracquelle und dem Entscheider liegen die Frequenzgänge für Sender  ⇒  $H_{\rm S}(f)$, Kanal  ⇒  $H_{\rm K}(f)$ und Empfänger   ⇒  $H_{\rm E}(f)$.

In diesem Applet

• vernachlässigen wir den Einfluss der Sendeimpulsform   ⇒   $H_{\rm S}(f) \equiv 1$   ⇒   diracförmiges Sendesignal $s(t)$,
• setzen ein binäres Nyquistsystem mit Cosinus–Roll-off um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ voraus:

$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

File:Applet Kabeldämpfung 2.png

Frequenzgang mit Cosinus–Roll-off

Das bedeutet: Das erste Nyquistkriterium wird erfüllt  ⇒  
Zeitlich aufeinander folgende Impulse stören sich nicht gegenseitig   ⇒   es gibt keine Impulsinterferenzen (englisch: Intersymbol Interference, ISI).

Bei weißem Rauschen wird somit die Übertragungsqualität allein durch die Rauschleistung vor dem Empfänger bestimmt:

$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{mit}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

Die kleinstmögliche Rauschleistung ergibt sich bei idealem Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ und rechteckfömigem $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ im Bereich $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimales System: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=0 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

$\text{Definitionen:}$ 

• Als Gütekriterium für ein gegebenes System verwenden wir den Gesamt–Wirkungsgrad:

$$\eta_\text{K+E} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{optimales System: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=0 \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{gegebenes System: Kanal }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off-Faktor }r \big ]} =\left [ \frac{1}{f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \right ]^{-1}\le 1.$$

Diese Systemgröße wird im Applet für beide Parametersätze in logarithmierter Form angegeben:   $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+R} \le 0 \ \rm dB$.

• Durch Variation und Optimierung des Roll-off-Faktors $r$ erhält man den Kanal–Wirkungsgrad:

$$\eta_\text{K} = \max_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+E} .$$

File:Applet Kabeldämpfung 3.png

Frequenzgang mit Cosinus–Roll-off

Ab hier bis zum Beginn der Versuchsdurchführung ist alles Mist - eine Art Vorratsspeicher

• Bei UMTS ist das Empfangsfilter $H_{\rm E}f) = H_{\rm S}(f)$ an den Sender angepasst (Matched–Filter) und der Gesamtfrequenzgang $H(f) = H_{\rm S}(f) · H_{\rm E}(f)$ erfüllt

$$ H(f) = H_{\rm CRO}(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot (|f| - f_1)}{2 \cdot (f_2 - f_1)} \right)\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \end{array} \begin{array}{*{20}c} |f| \le f_1, \\ |f| \ge f_2,\\ \\\end{array}$$

Die zugehörige Zeitfunktion lautet:

$$h(t) = h_{\rm CRO}(t) ={\rm si}(\pi \cdot t/ T_{\rm C}) \cdot \frac{\cos(r \cdot \pi t/T_{\rm C})}{1- (2r \cdot t/T_{\rm C})^2}. $$

„CRO” steht hierbei für Cosinus–Rolloff (englisch: Raised Cosine). Die Summe $f_1 + f_2$ ist gleich dem Kehrwert der Chipdauer $T_{\rm C} = 260 \ \rm ns$, also gleich $3.84 \ \rm MHz$. Der Rolloff–Faktor (wir bleiben bei der in $\rm LNTwww$ gewählten Bezeichnung $r$, im UMTS–Standard wird hierfür $\alpha$ verwendet)

$$r = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} $$

wurde bei UMTS zu $r = 0.22$ festgelegt. Die beiden Eckfrequenzen sind somit

$$f_1 = {1}/(2 T_{\rm C}) \cdot (1-r) \approx 1.5\,{\rm MHz}, \hspace{0.2cm} f_2 ={1}/(2 T_{\rm C}) \cdot (1+r) \approx 2.35\,{\rm MHz}.$$

Die erforderliche Bandbreite beträgt $B = 2 · f_2 = 4.7 \ \rm MHz$. Für jeden UMTS–Kanal steht somit mit $5 \ \rm MHz$ ausreichend Bandbreite zur Verfügung.

Cosinus–Rolloff–Spektrum und Impulsantwort

$\text{Fazit:}$  Die Grafik zeigt

• links das (normierte) Nyquistspektrum $H(f)$, und
• rechts den zugehörigen Nyquistimpuls $h(t)$, dessen Nulldurchgänge im Abstand $T_{\rm C}$ äquidistant sind.

$\text{Es ist zu beachten:}$

• Das Sendefilter $H_{\rm S}(f)$ und Matched–Filter $H_{\rm E}(f)$ sind jeweils Wurzel–Cosinus–Rolloff–förmig (englisch: Root Raised Cosine). Erst das Produkt $H(f) = H_{\rm S}(f) · H_{\rm E}(f)$ den Cosinus–Rolloff.
• Das bedeutet auch: Die Impulsantworten $h_{\rm S}(t)$ und $h_{\rm E}(t)$ erfüllen für sich allein die erste Nyquistbedingung nicht. Erst die Kombination aus beiden (im Zeitbereich die Faltung) führt zu den gewünschten äquidistanten Nulldurchgängen.

$$a_k(f)=(k_1+k_2\cdot f^{k_3})\cdot l \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \text{empirische Formel von Pollakowski & Wellhausen.}$$

• Umrechnung der $k$-Parameter in die $a$-Parameter nach dem Kriterium, dass der mittlere quadratische Fehler innerhalb der Bandbreite $B$ minimal sein soll:

$$a_0=k_1 \text{(trivial)}, \quad a_1=15\cdot B^{k_3-1}\cdot \frac{k_2\cdot (k_3-0.5)}{(k_3+1.5)\cdot (k_3+2)}, \quad a_2=10\cdot B^{k_3-0.5}\cdot \frac{k_2\cdot (1-k_3)}{(k_3+1.5)\cdot (k_3+2)}.$$

• Kontrolle: $k_3=1 \Rightarrow a_1=k_2;\ a_2=0 \quad k_3=0.5 \Rightarrow a_1=0;\ a_2=k_2.$
• Der Gesamtfrequenzgang $H(f)$ ist ein Cosinus-Rolloff-Tiefpass mit Rolloff-Faktor $r$, wobei stets $B=f_2$ und $r=\frac{f_2-f_1}{f_2+f_1}$ gelten soll.
• Ohne Berücksichtigung des Sendespektrums gilt $H(f)=H_K(f)\cdot H_E(f) \Rightarrow H_E(f)=\frac{H(f)}{H_K(f)}$.
• Der angegebene Integralwert $=\int_{-\infty}^{+\infty} \left| H_E(f)\right|^2 \hspace{0.15cm} {\rm d}f$ ist ein Maß für die Rauschleistung des Systems, wenn der Kanal $H_K(f)$ durch das Empfangsfilter $H_E(f)$ in weiten Bereichen bis $f_1$ vollständig entzerrt wird.

• idealer Kanal ($a_0=a_1=a_2=0$ dB), $B=20$ MHz, $r=0$: Integralwert = $40$ MHz.
• schwach verzerrender Kanal ($a_2=5$ dB), $B=20$ MHz, $r=0.5$: Integralwert $\approx 505$ MHz.

Versuchsdurchführung

• Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... 6 der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Hide solution”.
• Aufgabenstellung und Lösung in Englisch.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

In der folgenden Beschreibung bezeichnet Blue den linken Parametersatz (im Applet blau markiert) Red den rechten Parametersatz (im Applet rot markiert). Alle Angaben mit Hochkomma sind ohne Einheit, zum Beispiel steht ${\alpha_2}' =2$   für   $\alpha_2 =2\, {\rm dB} / ({\rm km \cdot \sqrt{MHz} })$.

(1)  Setzen Sie Blue zunächst auf $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ und anschließend auf $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$. Die Kabellänge sei jeweils $l_{\rm Blue}= 3\ \rm km$.

Betrachten und Interpretieren Sie $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, insbesondere die Funktionswerte $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ und $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Näherungsweise steigt die Dämpfungsfunktion mit }\sqrt{f}\text{ und der Betragsfrequenzgang fällt ähnlich einer Exponentialfunktion};$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 65.2\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.99;$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 143.3\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.96.$

(2)  Für Blue gelte $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ und $l_{\rm Blue} = 5\ \rm km$. Wie wird $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ von $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ beeinflusst?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Entscheidend ist }\alpha_2\text{ (Skineffekt). Die Beitrag von } \alpha_0\text{ ist nur ca. 0.1 dB und der von }\alpha_1 \text{ nur ca. 0.6 dB.}$

(3)  Setzen Sie zusätzlich Red auf $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ und $l_{\rm Red} = 3\ \rm km$. Welcher Wert ergibt sich für $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?

Bis zu welcher Länge $l_{\rm Red}$ ist die rote Dämfungsfunktion vergleichbar mit der blauen?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Für die rote Kurve gilt: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 262.5 {\ \rm dB} \text{. Obige Bedingung wird erfüllt für }l_{\rm Rot} = 0.5\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = 66.2 {\ \rm dB}.$

(4)  Setzen Sie Rot auf $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ und Blau auf $\text{Conversion of Red}$. Es gelte $l_{\rm Rot} = l_{\rm Blau} = 1\ \rm km$.

Betrachten und Interpretieren Sie die dargestellten Funktionsverläufe für $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Sehr gute Approximation der Zweidrahtleitung durch den blauen Parametersatz, sowohl bezüglich }a_{\rm K}(f) \text{ als auch }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

(5)  Es gelten die Einstellungen von (4). Welche Anteile der Dämpfungsfunktion gehen auf Ohmschen Verlust, Querverluste und Skineffekt zurück?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Lösung anhand '''Blau''': }\alpha_0(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}\alpha_1(f = f_\star) = 12.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}\alpha_2(f = f_\star) = 60.9 \ {\rm dB/km};$

$\hspace{1.15cm}\text{Bei einer Zweidrahtleitung ist der Einfluss der Längs– und der Querverluste signifikant größer als bei einem Koaxialkabel.}$

(6)  Variieren Sie ausgehend von der bisherigen Einstellung den Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$. Was erkennt man anhand von $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Bei festem }k_2\text {wird }a_{\rm K}(f)\text{ immer größer und es ergibt sich für }k_3 = 1\text{ ein linearer Verlauf; }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ nimmt immer schneller ab;}$

$\hspace{1.15cm}\text{Mit }k_3 \to 0.5\text{ nähert sich die Dämpfungsfunktion der Zweidrahtleitung der eines Koaxialkabels immer mehr an.}$

(7)  Setzen Sie Blue auf ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' ={\alpha_2}' = 0$ und Red auf ${k_1}' = 2, {k_2}' = 0, {l_{\rm red} } = 1 \ \rm km$. Zusätzlich gelte ${f_{\rm Nyq} }' =15$ und $r= 0.5$.

Wie groß ist jeweils der Gesamt–Wirkungsgrad $\eta_\text{K+E}$ und der Kanal–Wirkungsgrad $\eta_\text{K}$?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -0.67\ \ {\rm dB}\text{ (Blue: ideales System) und }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = -2.67\ \ {\rm dB}\text{ (Red: nur Gleichsignaldämpfung)}$.

$\hspace{0.95cm}\text{Der bestmögliche Rolloff–Faktor ist }r = 1.\text{ Somit ist }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = 0 \ {\rm dB}\text{ (Blue) bzw. }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} = -2\ {\rm dB}\text{ (Red)}.$

(8)  Es gilt die Einstellung von (7). Mit welcher Sendeleistung $P_{\rm red}$ in Bezug zu $P_{\rm blue}$ erreichen beide Systeme gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es muss gelten: }10 \cdot \lg \ P_{\rm red}/P_{\rm blue} =2 \ {\rm dB} \ \ \text{ ⇒ } \ \ P_{\rm red}/P_{\rm blue} = 10^{0.2} = 1.585.$

(9)  Setzen Sie Blue auf ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 1$ und Red auf „Inactive”. Zusätzlich gelte ${f_{\rm Nyq} }' =15$ und $r= 0.5$.

Welchen Verlauf hat $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Wie groß ist sind Gesamt–Wirkungsgrad $\eta_\text{K+E}$ und Kanal–Wirkungsgrad $\eta_\text{K}$?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Für } f < 7.5 {\ \rm MHz}\text{ ist } \vert H_{\rm E}(f) \vert = \vert H_{\rm K}(f) \vert ^{-1}.\text{ Für }(f > 22.5 {\ \rm MHz)}\text{ ist: }\vert H_{\rm E}(f) \vert = 0.\text{ Dazwischen Einfluss der CRO–Flanke.}$

$\hspace{0.95cm}\text{Der bestmögliche Rolloff–Faktor }r = 0.5\text{ ist bereits eingestellt: }\Rightarrow \ 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} = 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx - 8.8 \ {\rm dB}.$

Lesezeichen

(10)  Setzen Sie Blue auf ${\alpha_0}' = {\alpha_1}' = 0, \ {\alpha_2}' = 3, \ {l_{\rm blue} }' = 10$ sowie Red auf „Inactive”. Zusätzlich gelte ${f_{\rm Nyq} }' =15$ und $r= 0.5$.

Welchen Wert hat $\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert$? Was ist der Maximalwert von $\vert H_{\rm E}(f) \vert$? Wie groß ist ist der Kanal–Wirkungsgrad $\eta_\text{K}$?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }\vert H_{\rm E}(f = 0) \vert = \vert H_{\rm E}(f = 0) \vert ^{-1}= 1 \text{ und das Maximum von } \vert H_{\rm E}(f) \vert \text{ ist ca. }3320\text{ für }r=0.5 \Rightarrow 10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+E} \approx -110 \ {\rm dB},$

$\hspace{0.95cm}\text{weil das Intergral über }\vert H_{\rm E}(f) \vert^2\text{sehr groß ist. Nach Optimierung von }r=0.14 \text{ erhält man }10 \cdot \lg \ \eta_\text{K} \approx -104.9 \ {\rm dB}.$

Quellenverzeichnis

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