Exercise 2.1Z: DSB-AM without/with Carrier

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Die bei der Amplitudenmodulation beteiligten Signale

Die Grafik zeigt mit dem roten Kurvenverlauf einen Ausschnitt des Sendesignals $s(t) = q(t) · z(t)$ einer Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (abgekürzt mit ZSB-AM) ohne Träger. Die Dauer des Zeitausschnitts beträgt $200$ μs.

Zusätzlich sind in der Grafik eingetragen:

• das Quellensignal (als blau–gestrichelte Kurve):

$$q(t) = 1\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N}),$$

• das Trägersignal (grau–gepunkteter Verlauf):

$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$

Ab der Teilaufgabe (4) wird die „ZSB–AM mit Träger” betrachtet. Dann gilt mit $A_{\rm T} = 2$ V:

$$s(t) = \left(q(t) + A_{\rm T} \right) \cdot z(t) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweiseitenband-Amplitudenmodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Beschreibung im Zeitbereich und ZSB-Amplitudenmodulation mit Träger.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie aus der Grafik die Phasenwerte von Quellen– und Trägersignal.

$\phi_{\rm N} \ = \ $ $\ \text{Grad}$

$\phi_{\rm T} \ = \ $ $\ \text{Grad}$

2

Welche Frequenz $f_{\rm N}$ besitzt das Nachrichtensignal $q(t)$ und welche Frequenz $f_{\rm T}$ das Trägersignal $z(t)$?

$f_{\rm N} \ = \ $ $\ \text{kHz}$

$f_{\rm T} \ = \ $ $\ \text{kHz}$

3

Analysieren Sie die Nulldurchgänge von $s(t)$. Welche Aussagen treffen zu?

	Alle Nulldurchgänge von $z(t)$ bleiben in $s(t)$ erhalten.
	Es gibt weitere Nullstellen, verursacht durch $q(t)$.
	Es gilt $s(t) = a(t) · \cos(ω_T · t)$ mit $a(t) = |q(t)|$.

4

Bestimmen Sie die Spektralfunktion $S(f)$ über die Faltung. Welche (positiven) Frequenzen $f_1$ und $f_2 > f_1$ sind im Signal enthalten?

$f_1 \ = \ $ $\ \text{kHz}$

$f_2\ = \ $ $\ \text{kHz}$

5

Es gelte nun $A_{\rm T} = 2$ V. Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?

$m \ = \ $

6

Welche der Aussagen treffen bei der „ZSB–AM mit Träger” und $A_{\rm T} = 2$ V zu?

	$S(f)$ beinhaltet nun auch Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$.
	Die Gewichte dieser Diraclinien sind jeweils $2$ V.
	$q(t)$ ist in der Hüllkurve von $s(t)$ zu erkennen.
	Durch den zusätzlichen Trägeranteil bleibt die Leistung unverändert.

Musterlösung

Solution

(1)  Beide Signale sind cosinusförmig   ⇒   $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$ und $ϕ_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$.

(2)  Aus der Grafik können für $q(t)$ und $z(t)$ die Periodendauern $200$ μs bzw. $20$ μs abgelesen werden. Daraus ergeben sich die Frequenzen zu $f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline { = 5}$ kHz und $f_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline { = 50}$ kHz.

(3)  Richtig sind die < u>Lösungsvorschläge 1 und 2:

• Die Nullstellen von $z(t)$ bei $±5$ μs, $±15$ μs, $±25$ μs, ... sind auch im Signal $s(t)$ vorhanden   ⇒   Aussage 1 ist richtig.
• Weitere Nullstellen von $s(t)$ - verursacht durch $q(t)$ – liegen bei $±50$ μs, $±150$ μs, $±250$ μs, ....   ⇒   Aussage 2 ist richtig.
• Die dritte Aussage trifft dagegen nicht zu, sondern es gilt:   $ s(t) = a(t) \cdot \cos[\omega_{\rm T} t + \phi (t)] \hspace{0.05cm}.$
• Für $q(t) > 0$ ist die Phasenfunktion $ϕ(t) = 0$ und $s(t)$ ist gleichlaufend mit $z(t)$.
• Dagegen gilt für $q(t) < 0$: $ϕ(t) = π = 180\circ$.
• Bei den Nulldurchgängen von $q(t)$ weist das modulierte Signal $s(t)$ Phasensprünge auf.

ZSB–AM–Spektrum S(f) aus Z(f) und Q(f)

(4)  Das Spektrum $S(f)$ ergibt sich aus der Faltung der Spektralfunktionen $Z(f)$ und $Q(f)$, die jeweils aus nur zwei Diracfunktionen bestehen. Die Grafik zeigt das Ergebnis.

• Die rot eingezeichneten Diracfunktionen gelten nur für die „ZSB–AM mit Träger” und beziehen sich auf die Teilaufgabe (6).
• Die Faltung der beiden $Z(f)$–Diracfunktionen bei $f_{\rm T} = 50$ kHz mit $Q(f)$ führt zu den Diraclinien bei $f_{\rm T} – f_{\rm N}$ und $f_{\rm T} + f_{\rm N}$, jeweils mit Gewicht $0.5 · 0.5$ V $= 0.25$ V.
• Die gesuchten Werte sind somit $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 45 \ \rm kHz}$ und $f_1\hspace{0.15cm}\underline { = 55 \ \rm kHz}$.
• Die mit zwei Markierungsstrichen versehene Diracfunktion $0.5 · δ(f + f_{\rm T})$ führt zu zwei weiteren Diraclinien bei $–f_1$ und $–f_2$.

(5)  Der Modulationsgrad berechnet sich zu:

$$ m = \frac{q_{\rm max}}{A_{\rm T}} = \frac{A_{\rm N}}{A_{\rm T}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Gemäß der Skizze ergeben sich Diraclinien bei $±f_{\rm T}$, beide mit dem Impulsgewicht $A_{\rm T}/2 = 1$ V.
• Bei $m ≤ 1$ ist $q(t)$ in der Hüllkurve erkennbar und Hüllkurvendemodulation anwendbar.
• Allerdings muss diese einfachere Empfängervariante durch eine sehr viel größere Sendeleistung erkauft werden. In diesem Beispiel ($m = 0.5$) wird die Sendeleistung durch den Trägerzusatz verneunfacht.