Exercise 2.7: AMI Code

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Blockschaltbild eines Pseudoternärcoders

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur AMI–Codierung, wobei von den binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten $q_{\nu} ∈ \{–1, +1\}$ am Eingang ausgegangen wird. Diese Umcodierung erfolgt zweistufig:

• Im ersten Teil des Blockschaltbildes wird bei jedem Taktschritt ein binär–vorcodiertes Symbol $b_{\nu}$ aus der Modulo–2–Addition von $q_{\nu}$ und $b_{\nu -1}$ erzeugt. Es gilt $b_{\nu} ∈ \{–1, +1\}.$
• Danach wird durch eine herkömmliche Subtraktion der aktuelle Amplitudenkoeffizient des ternären Sendesignals $s(t)$ bestimmt. Dabei gilt:

$$a_\nu = {1}/{2} \cdot \left [ b_\nu - b_{\nu-1} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der AMI–Codierung wird sichergestellt, dass keine langen „$+1$”– bzw. „$–1$”–Sequenzen entstehen. Um auch lange Nullfolgen zu vermeiden, wurden auch modifizierte AMI–Codes entwickelt:

• Beim HDB3–Code werden je vier aufeinanderfolgende Nullen durch eine gezielte Verletzung der AMI–Codierregel markiert.
• Beim B6ZS–Code werden sechs aufeinanderfolgende Nullen durch eine gezielte Verletzung der AMI–Codierregel markiert.

Das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{a}(f)$ der Amplitudenkoeffizienten soll aus den diskreten AKF–Werten $\varphi_{a}(\lambda) = {\E}[a_{\nu} \cdot a_{\nu + \lambda}]$ ermittelt werden. Die Fouriertransformation lautet in diskreter Darstellung:

$${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Sie können die Ergebnisse mit dem Interaktionsmodul Signale, AKF und LDS der Pseutoternärcodes überprüfen.

Fragebogen

1

Am Eingang liegt $\langle q_{\nu} \rangle = \langle +1, –1, +1, +1, –1, +1, +1, –1, –1, –1, –1, +1 \rangle$ an. Ermitteln Sie die binär–vorcodierte Folge $\langle b_{\nu} \rangle$ mit der Vorbelegung $b_{0} = \hspace{0.05cm}–1$. Geben Sie zur Kontrolle folgende Werte ein:

$b_{1} \hspace{0.26cm} = \ $

$b_{11} \ = \ $

$b_{12} \ = \ $

2

Ermitteln Sie weiterhin die Folge $\langle a_{\nu} \rangle$ der Amplitudenkoeffizienten des AMI–codierten Sendesignals $s(t)$. Geben Sie zur Ergebnisüberprüfung folgende Werte ein:

$a_{1} \hspace{0.28cm} = \ $

$a_{11} \ = \ $

$a_{12} \ = \ $

3

Würde sich ein HDB3– bzw. ein B6ZS–Signal im betrachteten Bereich $(\text{also über }12T)$ vom AMI–Code unterscheiden?

	Der HDB3–Code unterscheidet sich vom AMI–Code.
	Der B6ZS–Code unterscheidet sich vom AMI–Code.

4

Wie groß sind die drei Auftrittswahrscheinlichkeiten beim AMI–Code?

${\Pr}(a_{\nu} = + 1) \ = \ $

${\Pr}(a_{\nu} = 0) \hspace{0.45cm} = \ $

${\Pr}(a_{\nu} = - 1) \ = \ $

5

Berechnen Sie die beiden ersten Mittelwerte der Amplitudenkoeffizienten.

$\E[a_{\nu}] \ = \ $

$\E[a_{\nu}^{2}] \ = \ $

6

Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion $\varphi_{a}(\lambda)$, insbesondere die folgenden AKF–Werte:

$\varphi_{a}(\lambda = 0) \ = \ $

$\varphi_{a}(\lambda = 1) \ = \ $

$\varphi_{a}(\lambda = 2) \ = \ $

7

Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{a}(f)$? Welche Werte ergeben für $f = 0$ und $f = 1/(2T)$?

${\it \Phi}_{a}(f = 0) \ = \ $

${\it \Phi}_{a}(f = 1/(2T)) \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Die Modulo–2–Addition kann auch als Antivalenz aufgefasst werden. Es gilt $b_{\nu} = +1$, falls sich $q_{\nu}$ und $b_{\nu – 1}$ unterscheiden, andernfalls ist $b_{\nu} = -1$ zu setzen. Mit dem Startwert $b_{0} = -1$ erhält man:

$$b_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}, \hspace{0.2cm} b_2 = +1, \hspace{0.2cm}b_3 = -1, \hspace{0.2cm}b_4 = +1, \hspace{0.2cm}b_5 = +1, \hspace{0.2cm}b_6 = -1\hspace{0.05cm},$$

$$b_7 = +1, \hspace{0.2cm} b_8 = +1, \hspace{0.2cm}b_9 = +1, \hspace{0.2cm}b_{10} = +1, \hspace{0.2cm}b_{11} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, \hspace{0.2cm}b_{12} \hspace{0.15cm}\underline {= -1}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die AMI–Codierung liefert die folgenden Amplitudenkoeffizienten:

$$a_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}, \hspace{0.2cm} a_2 = 0, \hspace{0.2cm}a_3 = -1, \hspace{0.2cm}a_4 = +1, \hspace{0.2cm}a_5 = 0, \hspace{0.2cm}a_6 = -1\hspace{0.05cm},$$

$$a_7 = +1, \hspace{0.2cm} a_8 = 0, \hspace{0.2cm}a_9 = 0, \hspace{0.2cm}a_{10} = 0, \hspace{0.2cm}a_{11}\hspace{0.15cm}\underline { = 0}, \hspace{0.2cm}a_{12} \hspace{0.15cm}\underline {= -1}\hspace{0.05cm}.$$

Zu diesem Ergebnis kommt man über die Gleichung $a_{\nu} = (b_{\nu} - b_{\nu –1})/2$ oder durch direkte Anwendung der AMI–Codierregel:

• Ein Quellensymbol $q_{\nu} = -1$ führt stets zu $a_{\nu} = 0$.
• Die Quellensymbole $q_{\nu} = +1$ führen alternierend zu $a_{\nu} = +1$ und $a_{\nu} = -1$.

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Der AMI–Code liefert im Bereich zwischen $\nu = 8$ und $\nu = 11$ vier aufeinanderfolgende Nullen.
• Beim HDB3–Code würden diese vier Symbole mit „$+ 0 0 +$” markiert. Dadurch wird zur Kenntlichmachung die AMI–Regel bewusst verletzt.
• Dagegen ersetzt der B6ZS–Code nur Nullfolgen über sechs Symbole.

(4)  Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Binärwerte $±1$ erhält man ${\Pr}(a_{\nu} = 0) = {\Pr}(q_{\nu} = -1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 1/2}$ und aus Symmetriegründen ${\Pr}(a_{\nu} = +1) = {\Pr}(a_{\nu} = -1) \hspace{0.15cm}\underline{ = 1/4}.$

(5)  Mit den unter (4) berechneten Wahrscheinlichkeiten erhält man:

$${\rm E}[a_\nu] = \ {1}/{4} \cdot (+1) +{1}/{2} \cdot 0+ {1}/{4} \cdot (-1)\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm E}[a_\nu^2] = \ {1}/{4} \cdot (+1)^2 +{1}/{2} \cdot 0^2 + {1}/{4} \cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Der AKF–Wert bei $\lambda = 0$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten:

$$ \varphi_a(\lambda = 0) = {\rm E}[a_\nu^2] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

Da die Ordnung des AMI–Codes $N = 1$ ist, gilt für $\lambda > 1$:   $\varphi_a(\lambda > 1) = {\rm E}^2[a_\nu] \hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}.$

Der AKF–Wert $\varphi_{a}(\lambda = 1)$ muss durch Mittelung bestimmt werden:   $\varphi_a(\lambda = 1) = {\rm E}[a_\nu \cdot a_{\nu+1} \cdot {\rm Pr}(a_\nu \cap a_{\nu+1})] \hspace{0.05cm}.$

Von den neun Kombinationsmöglichkeiten für $a_{\nu} \cdot a_{\nu +1}$ liefern nur vier einen von$0$ verschiedenen Wert. In den anderen Fällen ist entweder $a_{\nu} = 0$ oder $a_{\nu +1} = 0$. Da beim AMI–Code aber auch

$${\rm Pr}[(a_\nu = +1) \cap (a_{\nu+1}= +1)] = \ 0 \hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm Pr}[(a_\nu = -1) \cap (a_{\nu+1}= -1)] = \ 0$$

zutrifft, erhält man mit

$${\rm Pr}[(a_\nu = +1) \cap (a_{\nu+1}= -1)] = \ {\rm Pr}(a_\nu = +1)\cdot {\rm Pr}(a_{\nu+1} = -1 | a_\nu = +1) = {1}/{4}\cdot{1}/{2} ={1}/{8} \hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}[(a_\nu = -1) \cap (a_{\nu+1}= +1)] = \ {\rm Pr}(a_\nu = -1)\cdot {\rm Pr}(a_{\nu+1} = +1 | a_\nu = -1) = {1}/{4}\cdot {1}/{2} = {1}/{8}$$

als Endergebnis $\varphi_{a}(\lambda = +1) = \varphi_{a}(\lambda = –1) = –0.25$, da die AKF stets eine gerade Funktion ist. Hierbei ist berücksichtigt, dass nach $a_{\nu} = +1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit $a_{\nu +1} = +1$ und $a_{\nu +1} = -1$ folgt. Damit lautet das Ergebnis:

Autokorrelationsfunktionen des AMI-Codes

$$\varphi_a(\lambda = 0)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}, $$

$$\varphi_a(\lambda = 1)\hspace{0.15cm}\underline {= -0.25} \hspace{0.05cm},$$

$$\varphi_a(\lambda = 2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$

Die Grafik zeigt

• die diskrete AKF $\varphi_{a}(\lambda)$ der Amplitudenkoeffizienten und
• die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ des Sendesignals unter der Voraussetzung von NRZ–Rechteckimpulsen und AMI-Codierung.

Dabei ist die blau gezeichnete AKF $\varphi_{s}(\tau)$ das Ergebnis der (diskreten) Faltung zwischen der diskreten AKF $\varphi_{a}(\lambda)$ – rot gezeichnet – und der dreieckförmigen Energie–AKF des Sendegrundimpulses.

(7)  Aus der angegebenen Gleichung erhält man unter Berücksichtigung der in (6) berechneten diskreten AKF-Werte $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1/2, \varphi_{a}(|\lambda| = 1) = –1/4$ und \varphi_{a}(|\lambda| > 1) = 0$:

$${\it \Phi}_a(f) = \ \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} = \varphi_a(\lambda = 0) + 2 \cdot \varphi_a(\lambda = 1 )\cdot\cos ( 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T) = \ {1}/{2} \cdot \left [ 1 - \cos ( 2 \pi f \hspace{0.02cm} T)\right ] = \sin^2 ( \pi f \hspace{0.02cm} T) \hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere gilt:

$${\it \Phi}_a(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{0.2cm}{\it \Phi}_a(f = {1}/({2T})) = \sin^2 ({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$