Exercise 3.1: Spectrum of the Exponential Pulse
In dieser Aufgabe wird ein kausales Signal $x(t)$ betrachtet, das zum Zeitpunkt $t = 0$ sprungartig von $0$ auf $A$ ansteigt und für Zeiten $t > 0$ exponentiell mit der Zeitkonstanten $T$ abfällt:
- $$x(t) = A \cdot {\rm e}^{ - t/T} .$$
An der Sprungstelle zum Zeitpunkt $t = 0$ gilt $x(t = 0) = A/2$.
Verwenden Sie für die numerischen Berechnungen folgende Parameter:
- $$A = 3 \hspace{0.1cm} {\rm V}, \hspace{0.2cm} T = 1 \hspace{0.1cm} {\rm ms} .$$
Die zu berechnende Spektralfunktion $X(f)$ wird komplex sein und kann daher
- nach Real– und Imaginärteil, aber auch
- nach Betrag und Phase
dargestellt werden. Verwenden Sie die Notation:
- $$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi( f )} .$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fouriertransformation und -rücktransformation.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- $$X( f ) = \int_0^\infty {A \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}}2\pi f} \right)} } {\rm d}t = \left. {\frac{ { - A}}{ {1/T + {\rm j}2\pi f}} \cdot {\rm e}^{ - t\left( {1/T + {\rm j}2\pi f} \right)} } \right|_0^\infty .$$
Die obere Integralgrenze $(t \rightarrow \infty)$ ergibt $0$, die untere Grenze $(t = 0)$ den Wert $1$. Somit gilt:
- $$X(f) = \frac{ {A \cdot T}}{ {1 + {\rm j}2\pi fT}}\hspace{0.3 cm}\Rightarrow\hspace{0.3 cm} X( {f = 0}) = A \cdot T{ = 3 \cdot 10^{ - 3}\; {\rm V/Hz}} \hspace{0.15 cm}\underline{ = 3 \; {\rm mV/Hz}}.$$
Bei der Frequenz $f = 0$ ist demnach das Spektrum rein reell ⇒ Imaginärteil: $0$.
(2) Mit den Abkürzungen $X_0 = A \cdot T$ und $f_0 = 1/(2\pi T)$ lautet die Spektralfunktion:
- $$X( f) = \frac{ {X_0 }}{ {1 +{\rm j} \cdot f/f_0 }} = \frac{ {X_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }} \cdot \left( {1 - {\rm j} \cdot f/f_0 } \right).$$
Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil ergibt dies:
$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)}] = \frac{ {X_0 }}{{1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}, \hspace{0.5 cm}{\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X(f)}] = - \frac{ {X_0 \cdot f/f_0 }}{ {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 }}.$$
Bei der Frequenz $f_0$ ist
- der Realteil gleich $X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = 1.5 \; {\rm mV/Hz}},$
- der Imaginärteil gleich $–X_0/2 \hspace{0.15 cm}\underline{ = \hspace{0.1 cm}-1.5 \; {\rm mV/Hz}}.$
(3) Der Betrag einer komplexwertigen Funktion, die als Quotient vorliegt, ist gleich dem Quotienten der Beträge von Zähler und Nenner. Damit erhält man:
- $$ \left| {X( f)} \right| =\frac{ {X_0 }}{ {\left| 1 +{\rm j} \cdot f/ {f_0 } \right|}} = \frac{ {X_0 }}{{\sqrt {1 + \left( {f/f_0 } \right)^2 } }},$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.5 cm} \left| {X( {f = f_0} )} \right| = { {X_0 }}/{ {\sqrt 2 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 2.12 \;{\rm mV/Hz}}.$$
Bei sehr großen Frequenzen $(f \rightarrow \infty)$ ist der Betrag nahezu $0$ (siehe Skizze).
(4) Für die Phasenfunktion gilt allgemein:
$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ { - {\mathop{\rm Im}\nolimits}[{X(f)} ]}}{{ {\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X(f)} ]}}} \right) = \arctan \left( {f/f_0 } \right).$$
Für $f = f_0$ ergibt sich $\arctan(1)= \pi /4 \hspace{0.15 cm}\underline{\approx 0.785}$, für sehr große Werte von $f$ nähert sich die Phasenfunktion dem Wert $\arctan(\infty) = \pi /2 \hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 1.571}$ an. Beide Angaben sind im Bogenmaß („Radian”) zu verstehen.
